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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2014Variante 4

Matemáticas II · Andalucía 2014

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=12x+ln⁡xf(x) = \frac{1}{2x} + \ln x para x>0x > 0 (ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano).
a)1,75 pts
Determina el punto de la gráfica de ff en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.
b)0,75 pts
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=x3+bx2+cx+df(x) = x^3 + bx^2 + cx + d. Halla b,cb, c y dd sabiendo que ff tiene un máximo relativo en x=1x = 1 y que lim⁡x→1f(x)x−1=4\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 4.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Calcula ∫−11ln⁡(4−x)dx\int_{-1}^{1} \ln(4 - x) dx (ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=−x2+2x+3f(x) = -x^2 + 2x + 3.
a)0,5 pts
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.
b)0,75 pts
Esboza el recinto limitado por la gráfica de ff, la recta 2x+y−7=02x + y - 7 = 0 y el eje OXOX, calculando los puntos de corte.
c)1,25 pts
Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales {x+(m+1)y+2z=−1mx+y+z=m(1−m)x+2y+z=−m−1\begin{cases} x + (m + 1)y + 2z = -1 \\ mx + y + z = m \\ (1 - m)x + 2y + z = -m - 1 \end{cases}
a)1,75 pts
Discute el sistema según los valores del parámetro mm.
b)0,75 pts
Resuélvelo para m=2m = 2. Para dicho valor de mm, calcula, si es posible, una solución en la que z=2z = 2.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Considera las matrices A=(1+m111−m)yB=(1−110)A = \begin{pmatrix} 1 + m & 1 \\ 1 & 1 - m \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
a)0,75 pts
¿Para qué valores de mm se verifica que A2=2A+IA^2 = 2A + I? (II denota la matriz identidad).
b)1,75 pts
Para m=1m = 1, calcula A−1A^{-1} y la matriz XX que satisface AX−B=ABAX - B = AB.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Considera los vectores u⃗=(1,−1,0)\vec{u} = (1, -1, 0), v⃗=(0,1,2)\vec{v} = (0, 1, 2), w⃗=(1+α,2α,2−3α)\vec{w} = (1 + \alpha, 2\alpha, 2 - 3\alpha). Halla los valores de α\alpha en cada uno de los siguientes casos:
a)1 pts
u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} están en el mismo plano.
b)0,5 pts
w⃗\vec{w} es perpendicular a u⃗\vec{u} y a v⃗\vec{v}.
c)1 pts
El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} es 1/61/6.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Considera el punto P(2,−2,0)P(2, -2, 0) y la recta rr dada por {x+z−2=0y+z−1=0\begin{cases} x + z - 2 = 0 \\ y + z - 1 = 0 \end{cases}
a)1,25 pts
Halla la ecuación del plano que contiene a PP y es perpendicular a rr.
b)1,25 pts
Calcula la distancia de PP a rr.
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