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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2014Variante 4

Matemáticas II · Andalucía 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=12x+ln⁡xf(x) = \frac{1}{2x} + \ln x para x>0x > 0 (ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano).
a
Determina el punto de la gráfica de ff en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.1,75 pts
b
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫−11ln⁡(4−x)dx\int_{-1}^{1} \ln(4 - x) dx (ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales{x+(m+1)y+2z=−1mx+y+z=m(1−m)x+2y+z=−m−1\begin{cases} x + (m + 1)y + 2z = -1 \\ mx + y + z = m \\ (1 - m)x + 2y + z = -m - 1 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores del parámetro mm.1,75 pts
b
Resuélvelo para m=2m = 2. Para dicho valor de mm, calcula, si es posible, una solución en la que z=2z = 2.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los vectores u⃗=(1,−1,0)\vec{u} = (1, -1, 0), v⃗=(0,1,2)\vec{v} = (0, 1, 2), w⃗=(1+α,2α,2−3α)\vec{w} = (1 + \alpha, 2\alpha, 2 - 3\alpha). Halla los valores de α\alpha en cada uno de los siguientes casos:
a
u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} están en el mismo plano.1 pt
b
w⃗\vec{w} es perpendicular a u⃗\vec{u} y a v⃗\vec{v}.0,5 pts
c
El volumen del tetraedro que tiene por aristas a los vectores u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} es 1/61/6.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=x3+bx2+cx+df(x) = x^3 + bx^2 + cx + d. Halla b,cb, c y dd sabiendo que ff tiene un máximo relativo en x=1x = 1 y que lim⁡x→1f(x)x−1=4\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 4.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=−x2+2x+3f(x) = -x^2 + 2x + 3.
a
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.0,5 pts
b
Esboza el recinto limitado por la gráfica de ff, la recta 2x+y−7=02x + y - 7 = 0 y el eje OXOX, calculando los puntos de corte.0,75 pts
c
Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(1+m111−m)yB=(1−110)A = \begin{pmatrix} 1 + m & 1 \\ 1 & 1 - m \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
a
¿Para qué valores de mm se verifica que A2=2A+IA^2 = 2A + I? (II denota la matriz identidad).0,75 pts
b
Para m=1m = 1, calcula A−1A^{-1} y la matriz XX que satisface AX−B=ABAX - B = AB.1,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(2,−2,0)P(2, -2, 0) y la recta rr dada por{x+z−2=0y+z−1=0\begin{cases} x + z - 2 = 0 \\ y + z - 1 = 0 \end{cases}
a
Halla la ecuación del plano que contiene a PP y es perpendicular a rr.1,25 pts
b
Calcula la distancia de PP a rr.1,25 pts
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