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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2013

6 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Comprobar razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado que:
a)2 pts
Si el producto de dos matrices cuadradas AA y BB es conmutativo, es decir que AB=BAAB = BA, entonces se deduce que A2B2=(AB)2A^2 B^2 = (AB)^2.
b)6 pts
Que la matriz A=(1000−4100−37)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 10 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix} satisface la relación A2−3A+2I=OA^2 - 3A + 2I = O, siendo II y OO, respectivamente, las matrices de orden 3×33 \times 3 unidad y nula, (4 puntos), y que una matriz AA tal que A2−3A+2I=OA^2 - 3A + 2I = O tiene matriz inversa. (2 puntos)
c)2 pts
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores α\alpha y β\beta tales que A3=αA+βIA^3 = \alpha A + \beta I, sabiendo que la matriz verifica la igualdad A2−3A+2I=OA^2 - 3A + 2I = O.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {αx+y+z=1x+αy+z=13x+5y+z=1\begin{cases} \alpha x + y + z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ 3x + 5y + z = 1 \end{cases} donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
Todas las soluciones del sistema cuando α=7\alpha = 7.
b)3 pts
Los valores de α\alpha para los que el sistema es compatible indeterminado.
c)3 pts
Los valores de α\alpha para los cuales el sistema es compatible determinado.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Se dan las rectas r1:{x=1+2αy=αz=2−αr_1: \begin{cases} x = 1 + 2\alpha \\ y = \alpha \\ z = 2 - \alpha \end{cases} y r2:{x=−1y=1+βz=−1−2βr_2: \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 + \beta \\ z = -1 - 2\beta \end{cases}, siendo α\alpha y β\beta parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)2 pts
Unas ecuaciones implícitas de r1r_1.
b)4 pts
La justificación de que las rectas r1r_1 y r2r_2 están contenidas en un plano π\pi, (2 puntos) y la ecuación de ese plano π\pi. (2 puntos).
c)4 pts
El área del triángulo de vértices P,QP, Q y RR, siendo P=(−1,0,1)P = (-1, 0, 1), Q=(0,1,2)Q = (0, 1, 2) y RR el punto de intersección de r1r_1 y r2r_2.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Se dan las rectas r:{x−y+z=02x+y+z=1r: \begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y + z = 1 \end{cases} y s:{x−1=y−2=zs: \{ x - 1 = y - 2 = z. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
Un punto y un vector director de cada una de las dos rectas.
b)4 pts
La distancia entre las rectas rr y ss, (2 puntos), justificando que las rectas rr y ss se cruzan. (2 puntos).
c)3 pts
Obtener unas ecuaciones de la recta tt que pasa por el punto (4157,−1457,0)\left( \frac{41}{57}, -\frac{14}{57}, 0 \right) y es perpendicular a las rectas rr y ss.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Se dan las funciones f(x)=12ln⁡(1+x1−x)f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) y g(x)=ln⁡1−x1+xg(x) = \ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
Las derivadas de f(x)f(x) y g(x)g(x).
b)3 pts
Los dominios de definición de las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x).
c)3 pts
La expresión simplificada de la función f(x)+g(x)f(x) + g(x), (1,5 puntos), y el recorrido de esta función f(x)+g(x)f(x) + g(x). (1,5 puntos).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
En el plano XYXY está dibujada una parcela AA cuyos límites son dos calles de ecuaciones x=0x = 0 y x=40x = 40, respectivamente, una carretera de ecuación y=0y = 0, y el tramo del curso de un río de ecuación y=f(x)=302x+1,con0≤x≤40,siendo positivo el signo de la raıˊz cuadrada.y = f(x) = 30 \sqrt{2x + 1}, \quad \text{con} \quad 0 \leq x \leq 40, \text{siendo positivo el signo de la raíz cuadrada.} Se pretende urbanizar un rectángulo RR inscrito en la parcela AA, de manera que los vértices de RR sean los puntos (x,0),(x,f(x)),(40,f(x))(x, 0), (x, f(x)), (40, f(x)) y (40,0)(40, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
El área de la parcela AA.
b)5 pts
Los vértices del rectángulo RR al que corresponde área máxima.
c)2 pts
El valor de dicha área máxima.
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