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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2013

3 ejercicios

Instrucciones

Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica. Se prohíbe su utilización indebida (guardar fórmulas o texto en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Comprobar razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado que:
a
Si el producto de dos matrices cuadradas AA y BB es conmutativo, es decir que AB=BAAB = BA, entonces se deduce que A2B2=(AB)2A^2 B^2 = (AB)^2.2 pts
b
Que la matriz A=(1000−4100−37)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 10 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix} satisface la relación A2−3A+2I=OA^2 - 3A + 2I = O, siendo II y OO, respectivamente, las matrices de orden 3×33 \times 3 unidad y nula, (4 puntos), y que una matriz AA tal que A2−3A+2I=OA^2 - 3A + 2I = O tiene matriz inversa. (2 puntos)6 pts
c
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores α\alpha y β\beta tales que A3=αA+βIA^3 = \alpha A + \beta I, sabiendo que la matriz verifica la igualdad A2−3A+2I=OA^2 - 3A + 2I = O.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan las rectas r1:{x=1+2αy=αz=2−αr_1: \begin{cases} x = 1 + 2\alpha \\ y = \alpha \\ z = 2 - \alpha \end{cases} y r2:{x=−1y=1+βz=−1−2βr_2: \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 + \beta \\ z = -1 - 2\beta \end{cases}, siendo α\alpha y β\beta parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Unas ecuaciones implícitas de r1r_1.2 pts
b
La justificación de que las rectas r1r_1 y r2r_2 están contenidas en un plano π\pi, (2 puntos) y la ecuación de ese plano π\pi. (2 puntos).4 pts
c
El área del triángulo de vértices P,QP, Q y RR, siendo P=(−1,0,1)P = (-1, 0, 1), Q=(0,1,2)Q = (0, 1, 2) y RR el punto de intersección de r1r_1 y r2r_2.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se dan las funciones f(x)=12ln⁡(1+x1−x)f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) y g(x)=ln⁡1−x1+xg(x) = \ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Las derivadas de f(x)f(x) y g(x)g(x).4 pts
b
Los dominios de definición de las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x).3 pts
c
La expresión simplificada de la función f(x)+g(x)f(x) + g(x), (1,5 puntos), y el recorrido de esta función f(x)+g(x)f(x) + g(x). (1,5 puntos).3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {αx+y+z=1x+αy+z=13x+5y+z=1\begin{cases} \alpha x + y + z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ 3x + 5y + z = 1 \end{cases} donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Todas las soluciones del sistema cuando α=7\alpha = 7.4 pts
b
Los valores de α\alpha para los que el sistema es compatible indeterminado.3 pts
c
Los valores de α\alpha para los cuales el sistema es compatible determinado.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan las rectas r:{x−y+z=02x+y+z=1r: \begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y + z = 1 \end{cases} y s:{x−1=y−2=zs: \{ x - 1 = y - 2 = z. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Un punto y un vector director de cada una de las dos rectas.3 pts
b
La distancia entre las rectas rr y ss, (2 puntos), justificando que las rectas rr y ss se cruzan. (2 puntos).4 pts
c
Obtener unas ecuaciones de la recta tt que pasa por el punto (4157,−1457,0)\left( \frac{41}{57}, -\frac{14}{57}, 0 \right) y es perpendicular a las rectas rr y ss.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
En el plano XYXY está dibujada una parcela AA cuyos límites son dos calles de ecuaciones x=0x = 0 y x=40x = 40, respectivamente, una carretera de ecuación y=0y = 0, y el tramo del curso de un río de ecuación y=f(x)=302x+1,con0≤x≤40,siendo positivo el signo de la raıˊz cuadrada.y = f(x) = 30 \sqrt{2x + 1}, \quad \text{con} \quad 0 \leq x \leq 40, \text{siendo positivo el signo de la raíz cuadrada.} Se pretende urbanizar un rectángulo RR inscrito en la parcela AA, de manera que los vértices de RR sean los puntos (x,0),(x,f(x)),(40,f(x))(x, 0), (x, f(x)), (40, f(x)) y (40,0)(40, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El área de la parcela AA.3 pts
b
Los vértices del rectángulo RR al que corresponde área máxima.5 pts
c
El valor de dicha área máxima.2 pts
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