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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAndalucíaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas CCSS · Andalucía 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Duración: 1 hora y 30 minutos b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma. Justifique las respuestas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Plantee, sin resolver, las restricciones de este problema e indique la función a optimizar: “Un ganadero alimenta a sus ovejas con maíz y pienso. Cada kilogramo de maíz aporta 600 g de hidratos de carbono y 200 g de proteínas, mientras que cada kilogramo de pienso aporta 300 g de hidratos de carbono y 600 g de proteínas. Cada oveja necesita diariamente como mínimo 1800 g de hidratos de carbono y 2400 g de proteínas. Si 1 kg de maíz cuesta 0,500{,}50 euros y 1 kg de pienso cuesta 0,250{,}25 euros, calcule cuántos kilogramos de cada producto tendría que comprar el ganadero para alimentar cada día a una oveja con un gasto mínimo.”1 pt
b
Represente el recinto limitado por las siguientes restricciones, calculando sus vérticesx≥0x≤2y+2x+y≤5 x \geq 0 \quad x \leq 2y + 2 \quad x + y \leq 5 Calcule el máximo de F(x,y)=4x+3yF(x, y) = 4x + 3y en ese recinto, así como el punto donde se alcanza.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
La función de costes de una empresa se puede determinar mediante la expresiónf(x)=40−6x+x2,para x≥0 f(x) = 40 - 6x + x^2, \quad \text{para } x \geq 0 donde xx representa la cantidad producida de un determinado artículo.
a
¿Disminuye el coste alguna vez? Determine la cantidad producida de dicho artículo cuando el coste es mínimo y cuál es dicho coste.1 pt
b
¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo? Si el coste fuese 80, ¿cuántas serían las unidades producidas?0,8 pts
c
Represente gráficamente la función.0,7 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
En una determinada población residen 5000 personas en el centro y 10000 en la periferia. Se sabe que el 95% de los residentes en el centro y que el 20% de los que viven en la periferia opina que el Ayuntamiento debería restringir el acceso de vehículos privados al centro urbano. Se elige al azar un residente de la población.
a
¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de restringir el acceso de vehículos privados al centro de la ciudad?1,25 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que resida en el centro y esté a favor de la restricción de acceso?0,5 pts
c
Si la persona elegida opina que se debería restringir el acceso, ¿cuál es la probabilidad de que resida en el centro de la ciudad?0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se dispone de cuatro tornillos de 1, 2, 3 y 4 gramos de peso respectivamente.
a
Mediante muestreo aleatorio simple, exprese todas las muestras posibles de tamaño 2.1,25 pts
b
Determine la media y la varianza de los pesos medios muestrales.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se consideran las matrices A=(−1012)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} y B=(210−1)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
a
¿Se verifica la igualdad (A+B)2=A2+B2+2A⋅Bt(A + B)^2 = A^2 + B^2 + 2A \cdot B^t?1,2 pts
b
Resuelva la ecuación matricial X⋅A=2Bt+I2X \cdot A = 2B^t + I_21,3 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f(x)={x3+ax2si x<1bx+2xsi x≥1f(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 & \text{si } x < 1 \\ bx + \frac{2}{x} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a
Calcule los valores de aa y bb para que la función sea continua y derivable en x=1x = 1.1,5 pts
b
Para b=3b = 3, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Un campus universitario dispone de 3000 plazas numeradas de aparcamiento para vehículos, distribuidas en tres zonas A, B y C. La zona A está constituida por las plazas del 1 al 1500, estando 1350 de ellas protegidas del sol. La zona B la conforman las plazas numeradas desde 1501 a 2500, estando el 80% protegidas del sol. La zona C contiene las plazas numeradas desde 2501 hasta 3000, estando solamente 250 protegidas del sol. Aleatoriamente se elige una de las plazas de aparcamiento del campus.
a
¿Cuál es la probabilidad de que esté en la zona A o en la B?0,75 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que no esté protegida del sol?0,75 pts
c
Si se ha elegido una plaza protegida del sol, ¿cuál es la probabilidad de que esté ubicada en la zona B?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En un estudio sobre la utilización de nuevas tecnologías entre los estudiantes de Bachillerato, se ha realizado una encuesta a 500 estudiantes elegidos mediante muestreo aleatorio simple, resultando que 380 de ellos son usuarios de una determinada red social.
Gráfica de la distribución normal estándar N(0,1) con el área sombreada bajo la curva hasta el valor z.
a
Calcule un intervalo de confianza al 97% para la proporción de estudiantes que son usuarios de esa red social.1,5 pts
b
Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, determine el número mínimo de estudiantes a los que sería preciso entrevistar para que, con un nivel de confianza del 96%, el error cometido al estimar la proporción de usuarios de la citada red social no supere el 2%.1 pt
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