Matemáticas II · Cantabria 2016

Sea $A$ una matriz de la forma $A = \begin{pmatrix} -x+1 & -1 \\ x & x+1 \end{pmatrix}$, con $x \in \mathbb{R}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Considere el sistema de ecuaciones $$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & t & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ t^2 - 3t + 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$$ con $t \in \mathbb{R}$. Estudie la compatibilidad del sistema, dependiendo del parámetro $t$, y calcule todas las soluciones en los casos en los que sea compatible.

Se quiere construir un depósito (sin techo) con forma de prisma recto de base cuadrada y lados rectángulos. El depósito debe albergar un volumen de $2000\,\text{m}^3$. Sabemos que el coste de materiales de la base es de $50\,€/\text{m}^2$, el coste de materiales de las cuatro paredes es de $100\,€/\text{m}^2$. Además, el coste de construcción es un coste fijo de $20000\,€$.

Sea $f(x) = \ln(x^2 + 3x + 2)$.

Sea $\Pi$ el plano $\Pi \equiv x - y + z = 0$. Sea $r$ la recta $r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z + 1}{2}$.

Sea $\Pi$ el plano $\Pi \equiv (0, 0, 1) + t \vec{(1, 2, 0)} + s \vec{(0, 1, 1)}$, sea $U$ el punto $U = (2, 0, 1)$.