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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2016

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. 2. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de cualquier otro dispositivo que pueda ejercer esta función. 5. Los dispositivos que pueden conectarse a internet, o que pueden recibir o emitir información, deben estar apagados durante la celebración del examen.
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Sea AA una matriz de la forma A=(−x+1−1xx+1)A = \begin{pmatrix} -x+1 & -1 \\ x & x+1 \end{pmatrix}, con x∈Rx \in \mathbb{R} e I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calcule los valores de xx para los cuales se verifica la igualdad A⋅(A−I)=A−IA \cdot (A - I) = A - I.2 pts
b
Calcule los valores de xx para los cuales AA tiene inversa. Calcule la inversa de AA cuando x=2x = 2.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Se quiere construir un depósito (sin techo) con forma de prisma recto de base cuadrada y lados rectángulos. El depósito debe albergar un volumen de 2000 m32000\,\text{m}^3. Sabemos que el coste de materiales de la base es de 50 €/m250\,€/\text{m}^2, el coste de materiales de las cuatro paredes es de 100 €/m2100\,€/\text{m}^2. Además, el coste de construcción es un coste fijo de 20000 €20000\,€.
a
Escriba la función c(l)c(l) de coste total en función del lado de la base ll.0,5 pts
b
¿Para qué valor de ll es el coste total mínimo? ¿Cuánto es este coste?1,5 pts
c
¿Qué ocurre con el coste cuando el lado ll de la base del depósito tiende a infinito? ¿Y cuando tiende a cero?0,5 pts
d
Usando solo los datos obtenidos de los apartados anteriores, haga un esbozo de la gráfica de la curva c(l)c(l) en el dominio l∈(0,∞)l \in (0, \infty).1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Sea Π\Pi el plano Π≡x−y+z=0\Pi \equiv x - y + z = 0. Sea rr la recta r≡x−12=y−1=z+12r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z + 1}{2}.
a
Describa la posición relativa de Π\Pi y rr.0,75 pts
b
Calcule el ángulo formado por Π\Pi y rr (si no posee calculadora, puede dejar indicado el resultado final).1 pt
c
Dé un ejemplo de una recta que corte a rr, una recta que sea paralela y distinta de rr y una recta que se cruce con rr. Al menos una de esas rectas debe darse mediante sus ecuaciones implícitas (generales).1,5 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considere el sistema de ecuaciones(2010t3202t2−3t+202)⋅(xyz)=(2333)\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & t & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ t^2 - 3t + 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}con t∈Rt \in \mathbb{R}. Estudie la compatibilidad del sistema, dependiendo del parámetro tt, y calcule todas las soluciones en los casos en los que sea compatible.
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Sea f(x)=ln⁡(x2+3x+2)f(x) = \ln(x^2 + 3x + 2).
a
Calcule el dominio de ff, los cortes con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.2,5 pts
b
Haga un esbozo de la gráfica de ff.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Sea Π\Pi el plano Π≡(0,0,1)+t(1,2,0)⃗+s(0,1,1)⃗\Pi \equiv (0, 0, 1) + t \vec{(1, 2, 0)} + s \vec{(0, 1, 1)}, sea UU el punto U=(2,0,1)U = (2, 0, 1).
a
Calcule el punto VV de Π\Pi más próximo a UU.1,5 pts
b
Calcule la distancia de UU a Π\Pi.1 pt
c
Calcule las ecuaciones implícitas (generales) de una recta paralela al plano Π\Pi que pase por el punto UU.0,75 pts
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