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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INSTRUCCIONES: El alumno debe elegir una de las dos OPCIONES A o B que figuran en el presente examen y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta la opción elegida. Para la realización de esta prueba podrá utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. TIEMPO: Una hora y treinta minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Se considera la región SS acotada plana definida por las cinco condiciones siguientes:x+2y≤4;x−2y≤4;2x−3y≥−6;2x+3y≥−6;x≤2 x + 2y \leq 4 \quad ; \quad x - 2y \leq 4 \quad ; \quad 2x - 3y \geq -6 \quad ; \quad 2x + 3y \geq -6 \quad ; \quad x \leq 2
a
Dibújese SS y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
b
Calcúlense los valores máximo y mínimo de la función f(x,y)=2x+yf(x,y) = 2x + y en la región SS y especifíquense los puntos de SS en los cuales se alcanzan dichos valores máximo y mínimo.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Se considera la función real de variable real: f(x)=(x+1)2x2+1f(x) = \frac{(x + 1)^2}{x^2 + 1}.
a
Determínense las asíntotas de ff. Calcúlense los extremos relativos de ff.
b
Represéntese gráficamente la función ff.
c
Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de ff, la recta horizontal y=1y = 1, la recta vertical x=1x = 1.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se supone que la probabilidad de que nazca una niña es 0,490{,}49 y la probabilidad de que nazca un niño es 0,510{,}51. Una familia tiene dos hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean niños, condicionada porque al menos uno sea niño?
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Se supone que la presión diastólica en una determinada población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 9898 mm y desviación típica 1515 mm. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 99.
a
Calcúlese la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 100100 mm.
b
Si se sabe que la media muestral es mayor que 100100 mm, ¿cuál es la probabilidad de que sea también menor que 104104 mm?
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Se consideran las matrices:A=(0011);B=(1a1b);I=(1001);O=(0000) A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix} \quad ; \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad ; \quad O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
a
Calcúlense aa, bb para que se verifique la igualdad AB=BAAB = BA.
b
Calcúlense cc, dd para que se verifique la igualdad A2+cA+dI=OA^2 + cA + dI = O.
c
Calcúlense todas las soluciones del sistema lineal:(A−I)(xy)=(00) (A - I) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Se considera un rectángulo RR de lados xx, yy.
a
Si el perímetro de RR es igual a 1212 m, calcúlense xx, yy para que el área de RR sea máxima y calcúlese el valor de dicha área máxima.
b
Si el área de RR es igual a 44 m2^2, calcúlense xx, yy para que el perímetro de RR sea mínimo y calcúlese el valor de dicho perímetro mínimo.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se dispone de tres urnas, AA, BB y CC. La urna AA contiene 11 bola blanca y 22 bolas negras, la urna BB contiene 22 bolas blancas y 11 bola negra y la urna CC contiene 33 bolas blancas y 33 bolas negras. Se lanza un dado equilibrado y si sale 11, 22 o 33 se escoge la urna AA, si sale el 44 se escoge la urna BB y si sale 55 o 66 se elige la urna CC. A continuación, se extrae una bola de la urna elegida.
a
¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
b
Si se sabe que la bola extraída ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola haya sido extraída de la urna CC?
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para determinar el coeficiente de inteligencia θ\theta de una persona se le hace contestar un conjunto de tests y se obtiene la media de sus puntuaciones. Se supone que la calificación de cada test se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media θ\theta y desviación típica 1010.
a
Para una muestra aleatoria simple de 99 tests, se ha obtenido una media muestral igual a 110110. Determínese un intervalo de confianza para θ\theta al 9595 %.
b
¿Cuál es el número mínimo de tests que debería realizar la persona para que el valor absoluto del error en la estimación de su coeficiente de inteligencia sea menor o igual que 55, con el mismo nivel de confianza?
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