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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2015Ordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Puede utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Tres ciclistas, C1,C2C_1, C_2 y C3C_3, salen a entrenarse. Por cada kilómetro que recorre C1,C2C_1, C_2 recorre 2 kilómetros y C3C_3 recorre las tres cuartas partes de lo que recorre C2C_2. Al final, la suma de las distancias recorridas por los tres ciclistas es de 180 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros recorre cada uno?6 pts
b
Determinad las matrices A=(2ba4)A = \begin{pmatrix} 2 & b \\ a & 4 \end{pmatrix} tales que A+At=(4888)A + A^t = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}, donde AtA^t es la matriz traspuesta de AA.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
a
Representad gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes:{2x+y≤64x+y≤10−x+y≤3x≥0y≥0\begin{cases} 2x + y \leq 6 \\ 4x + y \leq 10 \\ -x + y \leq 3 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}Indicad si es o no una región acotada del plano. Señalad sobre la gráfica los vértices con sus coordenadas, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimitan.6 pts
b
Calculad el máximo de la función f(x,y)=4x+2y−3f(x, y) = 4x + 2y - 3 en el recinto anterior e indicad dónde se alcanza.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
El precio de un artículo, que ha estado los últimos 6 años en el mercado, en función del tiempo tt (en años) ha seguido la siguiente función:f(t)={3t2+4si 0≤t≤2−2t+20si 2<t≤6f(t) = \begin{cases} 3t^2 + 4 & \text{si } 0 \leq t \leq 2 \\ -2t + 20 & \text{si } 2 < t \leq 6 \end{cases}
a
Representad la función precio en los últimos 6 años. ¿Es continua esta función? ¿Es derivable?4 pts
b
Estudiad cuándo ha sido creciente y cuándo decreciente el precio del artículo.2 pts
c
¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo? ¿Cuál es el precio actual?2 pts
d
Representad la función derivada.2 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
En una caja hay guardados 20 relojes, de los cuales hay 15 que funcionan correctamente.
a
Representad la situación del problema, cuando se extraen dos relojes al azar sin reemplazo, mediante un diagrama en árbol.3 pts
b
Si se extrae un reloj al azar, ¿cuál es la probabilidad de que funcione bien?1 pt
c
Si se extraen dos relojes al azar, sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que los dos funcionen bien?3 pts
d
Si se extraen dos relojes al azar sucesivamente, sin reemplazo, y el primero no funciona correctamente, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo tampoco funcione?3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Determinad tres números, A,BA, B y CC, tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95, y la media de los dos últimos sea 80.6 pts
b
Determinad la forma de las matrices A=(ab−ba)A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} para que no admitan inversa. Escribid algún ejemplo particular de estas matrices.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
a
Representad gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes:{x+y≥2x−y≤0y≤4x≥0\begin{cases} x + y \geq 2 \\ x - y \leq 0 \\ y \leq 4 \\ x \geq 0 \end{cases}Indicad si es o no una región acotada del plano. Señalad sobre la gráfica los vértices con sus coordenadas, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimiten.5 pts
b
Calculad el máximo y el mínimo de la función f(x,y)=x+yf(x, y) = x + y en el recinto anterior e indicad dónde se alcanzan.4 pts
c
¿Pertenece el punto (1/3,4/3)(1/3, 4/3) al recinto anterior? Justificad la respuesta.1 pt
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Los beneficios (en miles de euros) por la venta de un producto en función de la inversión realizada en promoción (en miles de euros) vienen dados por:B(x)={5x+15,si 0≤x≤3−(x−3)2+30,si 3<x≤8B(x) = \begin{cases} 5x + 15, & \text{si } 0 \leq x \leq 3 \\ -(x - 3)^2 + 30, & \text{si } 3 < x \leq 8 \end{cases}
a
¿Es continua esta función? ¿Es derivable? Representadla gráficamente.4 pts
b
¿Cuándo crece y cuándo decrece la función beneficio?2 pts
c
¿Cuándo se obtienen los beneficios mínimo y máximo?2 pts
d
Representad la función derivada.2 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
a
La antigüedad de los aviones comerciales sigue una distribución normal con una desviación típica de 8,288{,}28 años. Se toma una muestra de 40 aviones y la antigüedad media es de 13,4113{,}41 años. Obtened un intervalo de confianza del 90% para la antigüedad media.6 pts
b
¿Qué tamaño mínimo deberá tener la muestra para obtener un intervalo de confianza al 95% con la misma amplitud que el anterior?4 pts
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