Matemáticas CCSS · Baleares 2015

Tres ciclistas, $C_1, C_2$ y $C_3$, salen a entrenarse. Por cada kilómetro que recorre $C_1, C_2$ recorre 2 kilómetros y $C_3$ recorre las tres cuartas partes de lo que recorre $C_2$. Al final, la suma de las distancias recorridas por los tres ciclistas es de 180 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros recorre cada uno?

Determinad las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & b \\ a & 4 \end{pmatrix}$ tales que $A + A^t = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$.

Determinad tres números, $A, B$ y $C$, tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95, y la media de los dos últimos sea 80.

Determinad la forma de las matrices $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ para que no admitan inversa. Escribid algún ejemplo particular de estas matrices.

Representad gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes: $$\begin{cases} 2x + y \leq 6 \\ 4x + y \leq 10 \\ -x + y \leq 3 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$ Indicad si es o no una región acotada del plano. Señalad sobre la gráfica los vértices con sus coordenadas, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimitan.

Calculad el máximo de la función $f(x, y) = 4x + 2y - 3$ en el recinto anterior e indicad dónde se alcanza.

Representad gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes: $$\begin{cases} x + y \geq 2 \\ x - y \leq 0 \\ y \leq 4 \\ x \geq 0 \end{cases}$$ Indicad si es o no una región acotada del plano. Señalad sobre la gráfica los vértices con sus coordenadas, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimiten.

Calculad el máximo y el mínimo de la función $f(x, y) = x + y$ en el recinto anterior e indicad dónde se alcanzan.

¿Pertenece el punto $(1/3, 4/3)$ al recinto anterior? Justificad la respuesta.

Representad la función precio en los últimos 6 años. ¿Es continua esta función? ¿Es derivable?

Estudiad cuándo ha sido creciente y cuándo decreciente el precio del artículo.

¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo? ¿Cuál es el precio actual?

Representad la función derivada.

¿Es continua esta función? ¿Es derivable? Representadla gráficamente.

¿Cuándo crece y cuándo decrece la función beneficio?

¿Cuándo se obtienen los beneficios mínimo y máximo?

Representad la función derivada.

Representad la situación del problema, cuando se extraen dos relojes al azar sin reemplazo, mediante un diagrama en árbol.

Si se extrae un reloj al azar, ¿cuál es la probabilidad de que funcione bien?

Si se extraen dos relojes al azar, sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que los dos funcionen bien?

Si se extraen dos relojes al azar sucesivamente, sin reemplazo, y el primero no funciona correctamente, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo tampoco funcione?

La antigüedad de los aviones comerciales sigue una distribución normal con una desviación típica de $8{,}28$ años. Se toma una muestra de 40 aviones y la antigüedad media es de $13{,}41$ años. Obtened un intervalo de confianza del 90% para la antigüedad media.

¿Qué tamaño mínimo deberá tener la muestra para obtener un intervalo de confianza al 95% con la misma amplitud que el anterior?