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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2022

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OBSERVACIONES IMPORTANTES: Se debe responder a un máximo de 4 cuestiones y no es necesario hacerlo en el mismo orden en que están enunciadas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 cuestiones, sólo se corregirán las cuatro primeras, en el orden que haya respondido el estudiante. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un conocido defraudador fiscal tiene distribuido su dinero negro en tres paraísos fiscales, las Islas Caimán, Panamá y Fiji. La suma total de este dinero es de 150 millones de euros. Si perdiera la cuarta parte del dinero que tiene en las Islas Caimán, seguiría teniendo allí el triple del dinero que tiene en Panamá. Además, el dinero que tiene en Panamá sumado a las dos quintas partes del dinero que tiene en Fiji es exactamente la mitad del dinero que tiene en las Islas Caimán. Calcule cuánto dinero tiene en cada uno de los paraísos fiscales.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se dice que una matriz cuadrada AA es idempotente si cumple que A2=AA^2 = A.
a
Si AA es una matriz idempotente, calcule razonadamente A2022A^{2022}.0,75 pts
b
Si AA es una matriz idempotente y regular (o inversible), calcule razonadamente su determinante.0,75 pts
c
Determine para qué valores de aa y bb la siguiente matriz es idempotenteA=(a0021−a000b)A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 2 & 1 - a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función f(x)f(x) dada porf(x)={ln⁡xx−1six>0 y x≠1asix=1f(x) = \begin{cases} \frac{\ln x}{x - 1} & \text{si} & x > 0 \text{ y } x \neq 1 \\ a & \text{si} & x = 1 \end{cases}
a
Calcule el límite de f(x)f(x) cuando xx tiende a +∞+\infty.0,5 pts
b
Determine el valor de aa para que la función f(x)f(x) sea continua en x=1x = 1.1 pt
c
Estudie si, para dicho valor de aa, la función f(x)f(x) es derivable en x=1x = 1. En caso afirmativo, calcule el valor de la derivada de ff en x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x}, definida para todo valor de x∈Rx \in \mathbb{R}.
a
Calcule la derivada de f(x)f(x) y determine sus intervalos de crecimiento y/o decrecimiento.1 pt
b
Calcule la integral indefinida de la función f(x)f(x).1 pt
c
Determine la primitiva de la función f(x)f(x) cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas (0,1)(0,1).0,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere el plano π\pi de ecuación π:x+y+z=1\pi : x + y + z = 1 y la recta rr dada porr:{x−y=0ax−z=a−1r: \begin{cases} x - y = 0 \\ ax - z = a - 1 \end{cases}
a
Estudie la posición relativa del plano π\pi y de la recta rr en función del parámetro aa.1,5 pts
b
Si a=1a = 1 la recta rr corta al plano π\pi. Calcule en ese caso el punto de corte y el ángulo que forma la recta rr con el plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere las rectas rr y ss dadas porr:x−1−1=y1=z1ys:{x+2z=1y=0r: \frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} \quad \text{y} \quad s: \begin{cases} x + 2z = 1 \\ y = 0 \end{cases}
a
Compruebe que las rectas son coplanarias (es decir, están contenidas en un mismo plano) y calcule la ecuación del plano que las contiene.1,5 pts
b
Calcule la distancia de la recta rr al plano π:x−y+2z=3\pi : x - y + 2z = 3.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Un estudio publicado en Environmental, Science and Technology ha revelado que la probabilidad de contraer el Covid-19 en el interior de restaurantes es 0,450{,}45. Además, según los datos de las Naciones Unidas, en el mundo hay actualmente un 50,5%50{,}5\% de hombres y un 49,5%49{,}5\% de mujeres.
a
Suponiendo que los sucesos "contraer el Covid-19 en el interior de restaurantes" y "ser mujer" sean independientes, calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer y contraiga el Covid-19 en el interior de restaurantes.0,5 pts
b
En el mismo supuesto que en el apartado a), calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar no sea mujer o no contraiga el Covid-19 en el interior de restaurantes.1 pt
c
Si se eligen 8 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 de ellas contraigan el Covid-19 en el interior de restaurantes?1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades. La altura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media 175 cm175\,\text{cm} y desviación típica 4 cm4\,\text{cm}.
a
Calcule la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de 170 cm170\,\text{cm}.0,75 pts
b
Calcule qué porcentaje de la población mide entre 170170 y 185 cm185\,\text{cm}.0,75 pts
c
Calcule la altura que es superada por el 33%33\% de la población.1 pt
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