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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Despues de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: Las preguntas 1a1^{\mathsf{a}} y 2a2^{\mathsf{a}} se valorarán sobre 3 puntos, la 3a3^{\mathsf{a}} y la 4a4^{\mathsf{a}} sobre 2 puntos. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la función f(x)={xe2xsi x<0ln⁡(x+1)x+1si x≥0f(x) = \begin{cases} xe^{2x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases} donde ln⁡\ln significa logaritmo neperiano, se pide:
a
Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x)f(x) en x=0x = 0.1 pt
b
Calcular lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x) y lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).1 pt
c
Calcular ∫−10f(x)dx\int_{-1}^{0} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las rectas r1≡{6x−y−z=12x−y+z=1r_1 \equiv \begin{cases} 6x - y - z = 1 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases} y r2≡{3x−5y−2z=33x+y+4z=3r_2 \equiv \begin{cases} 3x - 5y - 2z = 3 \\ 3x + y + 4z = 3 \end{cases} se pide:
a
Estudiar la posición relativa de r1r_1 y r2r_2.1 pt
b
Calcular la distancia entre las dos rectas.1 pt
c
Hallar la ecuación del plano que contiene a r1r_1 y al punto P(1,2,3)P(1, 2, 3).1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se dispone de tres aleaciones A, B y C que contienen, entre otros metales, oro y plata en las proporciones indicadas en la tabla adjunta. Se quiere obtener un lingote de 25 gramos, con una proporción del 72%72\% de oro y una proporción del 16%16\% de plata, tomando xx gramos de A, yy gramos de B y zz gramos de C. Determínense las cantidades x,y,zx, y, z.
Oro (%)Plata (%)
A1000
B7515
C6022
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dados dos sucesos, A y B, de un experimento aleatorio, con probabilidades tales que p(A)=49p(A) = \frac{4}{9}, p(B)=12p(B) = \frac{1}{2} y p(A∪B)=23p(A \cup B) = \frac{2}{3}, se pide:
a
Comprobar si los sucesos A y B son independientes o no.1 pt
b
Calcular p(Aˉ∣B)p(\bar{A} | B), donde Aˉ\bar{A} denota el suceso complementario de A.1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la matriz A=(200001010)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} y la matriz identidad I=(100010001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, se pide:
a
Calcular la matriz B=(A−I)(2I+2A)B = (A - I)(2I + 2A).0,5 pts
b
Determinar el rango de las matrices A−IA - I, A2−IA^2 - I y A3−IA^3 - I.1,5 pts
c
Calcular la matriz inversa de A6A^6, en caso de que exista.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Se considera la función f(x)=e−xx2+1f(x) = \frac{e^{-x}}{x^2 + 1} y se pide:
a
Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
b
Estudiar la existencia de asíntotas horizontales y verticales de la función ff y, en su caso, determinarlas.1 pt
c
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y sus extremos relativos en el caso de que existan.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea rr la recta que pasa por los puntos P1(3,2,0)P_1(3, 2, 0) y P2(7,0,2)P_2(7, 0, 2). Se pide:
a
Hallar la distancia del punto Q(3,5,−3)Q(3, 5, -3) a la recta rr.1 pt
b
Hallar el punto de corte de la recta rr con el plano perpendicular a rr que pasa por el punto QQ.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Se considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,3,−1)A(1, 3, -1), B(3,1,0)B(3, 1, 0) y C(2,5,1)C(2, 5, 1) y se pide:
a
Determinar razonadamente si el triángulo es equilátero, isósceles o escaleno.1 pt
b
Obtener las medidas de sus tres ángulos.1 pt
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