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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la función:f(x)=4x−4+272x+2f(x) = \frac{4}{x - 4} + \frac{27}{2x + 2}se pide:
a
Hallar las asíntotas de su gráfica.0,75 pts
b
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión.1,75 pts
c
Esbozar la gráfica de la función.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas la matrices:A=(11aaa11aaa11aaa1),X=(xyzw),O=(0000)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & a \\ a & 1 & 1 & a \\ a & a & 1 & 1 \\ a & a & a & 1 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}, \qquad O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}se pide:
a
Calcular el determinante de AA. Determinar el rango de AA según los valores de aa.1,5 pts
b
Resolver el sistema homogéneo AX=OAX = O en el caso a=1a = 1.0,5 pts
c
Resolver el sistema homogéneo AX=OAX = O cuando a=−1a = -1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dados los puntos A(2,−2,1)A(2, -2, 1), B(0,1,−2)B(0, 1, -2), C(−2,0,−4)C(-2, 0, -4), D(2,−6,2)D(2, -6, 2), se pide:
a
Probar que el cuatrilátero ABCDABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia entre los dos lados paralelos.1 pt
b
Hallar el área del triángulo ABCABC.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dados el punto P(1,2,1)P(1, 2, 1) y el plano π≡x+2y−2z+2=0\pi \equiv x + 2y - 2z + 2 = 0, sea SS la esfera que es tangente al plano π\pi en un punto P′P' de modo que el segmento PP′PP' es uno de sus diámetros. Se pide:
a
Hallar el punto de tangencia P′P'.1 pt
b
Hallar la ecuación de SS.1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Sean rAr_A la recta con vector dirección (1,λ,2)(1, \lambda, 2) que pasa por el punto A(1,2,1)A(1, 2, 1), rBr_B la recta con vector dirección (1,1,1)(1, 1, 1) que pasa por B(1,−2,3)B(1, -2, 3), y rCr_C la recta con vector dirección (1,1,−2)(1, 1, -2) que pasa por C(4,1,−3)C(4, 1, -3). Se pide:
a
Hallar λ\lambda para que las rectas rAr_A y rBr_B se corten.1 pt
b
Hallar λ\lambda para que la recta rAr_A sea paralela al plano definido por rBr_B y rCr_C.1,5 pts
c
Hallar el ángulo que forman rBr_B y rCr_C.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales:{2x+λy+λz=1−λx+y+(λ−1)z=−2λ(λ−1)x+y+z=λ−1\begin{cases} 2x + \lambda y + \lambda z = 1 - \lambda \\ x + y + (\lambda - 1)z = -2\lambda \\ (\lambda - 1)x + y + z = \lambda - 1 \end{cases}se pide:
a
Discutirlo según los valores del parámetro λ\lambda.2 pts
b
Resolverlo en el caso λ=1\lambda = 1.0,5 pts
c
Resolverlo en el caso λ=−1\lambda = -1.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}, se pide:
a
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en x=0x = 0.1 pt
b
Calcular ∫01xf(x)dx\int_{0}^{1} x f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dada la función f(x)=e1/xf(x) = e^{1/x}, se pide:
a
Calcular lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x), lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x) y estudiar la existencia de lim⁡x→0f(x)\lim_{x \to 0} f(x).1 pt
b
Esbozar la gráfica y=f(x)y = f(x) determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) y sus asíntotas.1 pt
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