Matemáticas CCSS · Cataluña 2022

En el instituto de Martí han elaborado tres tipos diferentes de ramos de rosas para vender el día de Sant Jordi. La opción clásica consiste en una rosa y una espiga. La opción de ramo pequeño está formada por tres rosas y dos espigas. Y, finalmente, la opción de ramo grande consiste en media docena de rosas y tres espigas. Todos los ramos (sean de la opción que sean) llevan un bonito envoltorio. Sabemos que se han utilizado 200 rosas, 135 espigas y 85 envoltorios.

El valor de un producto electrónico, en función del número de meses que lleva a la venta, $t$, viene dado por la función $f(t)=-(t+25)(t-75)$.

Experimentalmente se ha comprobado que la producción de un tipo de fruta determinado que se cultiva en invernaderos depende de la temperatura, según la función $f(x)=-x^2+46x-360$, donde $x$ representa la temperatura del invernadero en grados Celsius y $f(x)$ es la producción anual en centenares de kilogramos por hectárea. El precio de venta de la fruta se mantiene estable a 1,2 euros por cada kilogramo.

Una caja contiene 40 monedas, que son de 50 céntimos, de 1 € y de 2 €. Sabemos que el número de monedas de 50 céntimos que hay es el doble que el de monedas de 2 €.

Una empresa se propone hacer dos tipos de cestas de Navidad, A y B, para los trabajadores y las trabajadoras. Cada cesta de tipo A contendrá 1 jamón, 1 botella de cava y 5 barras de turrón. Por otra parte, cada cesta de tipo B contendrá 2 jamones, 3 botellas de cava y 2 barras de turrón. El jefe de almacén afirma que disponen de 40 jamones, 120 barras de turrón y muchas botellas de cava, y que, por tanto, de cava seguro que no faltará. Se quieren hacer tantas cestas como sea posible.

Calculad la matriz $X$ que verifica $A\cdot X\cdot B=C$, sabiendo que $X=\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & c\end{pmatrix}$, $A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & -3\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}-1 & -2 \\ -3 & -8\end{pmatrix}$.

Un grupo de biólogos está estudiando un cultivo de bacterias. La población de estas bacterias (en centenares) viene dada por la función $P(t)=a+\frac{12t}{t^2+b}$, donde $a$ y $b$ son constantes positivas reales y $t\geq 0$ es el tiempo transcurrido en minutos. Sabemos que en el instante inicial del estudio la población de bacterias era de 6 centenares y que el valor máximo de población se ha alcanzado al cabo de 2 minutos de haber iniciado el estudio.

Un hotel admite reservas para las 420 habitaciones dobles de que dispone y ofrece dos tarifas diferentes: la tarifa estándar (sin gastos de cancelación) es de 120 € por noche, y la tarifa reducida (que no admite cancelaciones) es de 90 € por noche. Les interesa tener reservado al menos un 20 % del total de habitaciones con la tarifa reducida y quieren que el número de habitaciones reservadas con la tarifa estándar sea igual o superior al doble del número de habitaciones reservadas con la tarifa reducida.

Considerad las matrices $P=\begin{pmatrix}0 & 2 & -1 \\ a & 2 & 3\end{pmatrix}$ y $A=\begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$, donde $a$ es un parámetro real.

Una fábrica de vehículos produce coches de un modelo llamado Paradís y los vende a 58.000 €. Sabemos que los costes mensuales de producción vienen dados por la función $C(x)=\frac{1}{2}x^2-64x+4.704$ (en miles de euros), donde $x$ denota el número de coches que se fabrican mensualmente.

En los modelos matemáticos que se utilizan para describir la evolución de una enfermedad, se llama $R_0$ al número medio de nuevas infecciones que cada persona infectada provoca en la población. Cuando este número es inferior a 1, cada individuo infectado transmite la enfermedad, de media, a menos de una persona y la enfermedad tiende a desaparecer. En cambio, si $R_0$ es mayor que 1, la enfermedad se extiende y se produce una epidemia. Cuando se descubre una vacuna efectiva contra la enfermedad, se puede controlar la epidemia vacunando solo a una proporción $p$ de la población. Es lo que se conoce como inmunidad de grupo. En efecto, una vez vacunada una proporción $p\in(0,1)$ de la población, la nueva $R_0$, que se llama efectiva y se denota con $R_e$, es el producto de la $R_0$ original por la proporción de individuos que no están vacunados, $1-p$. Y se consigue controlar la epidemia si la $R_e$ es inferior a 1.

Considerad la función $f(x)=e^{3x}$.