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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSNavarraPAU 2023Ordinaria

Matemáticas CCSS · Navarra 2023

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija tres de los seis ejercicios siguientes.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Considere las matrices A=(3−2102−1)A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}, B=(2110−1−1)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} y C=(10−2−1)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}.
i
Razone qué dimensión debe tener una matriz DD, para que (Bt⋅D)(B^t \cdot D) sea una matriz columna.2 pts
ii
Calcule A⋅BA \cdot B.2 pts
iii
Despeje y calcule la matriz XX que verifica la ecuación ABX−C=IABX - C = I, siendo II la matriz identidad.6 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Una empresa produce un tipo de pintura que vende en el mercado nacional, con un beneficio unitario de 10,00010{,}000 euros/tonelada. Esta empresa se está planteando introducir su producto en el mercado internacional, ya que el beneficio unitario se duplica en dicho mercado. La empresa no se plantea aumentar su capacidad actual de producción de 8080 toneladas mensuales. Por temor a perder la clientela nacional, la empresa ha decidido destinar mensualmente a este mercado al menos el 75%75\% de la producción total. Además, un cliente del mercado internacional ha solicitado a la empresa un pedido de 1010 toneladas mensuales, por lo que se ha decidido destinar mensualmente al mercado internacional al menos dicha cantidad. Determine la cantidad mensual que se deberá destinar a cada uno de los dos mercados, si la empresa desea maximizar el beneficio mensual.
i
Plantee el problema.4 pts
ii
Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema.4 pts
iii
Analice gráficamente qué ocurriría si el beneficio de la pintura en el mercado nacional se incrementa a 20,00020{,}000 euros/tonelada.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considere la función f(x)=5+x2f(x) = \sqrt{5 + x^2}.
i
Calcule la ecuación de la recta tangente a la función f(x)f(x) en el punto x=−2x = -2.4 pts
ii
Calcule ∫x⋅f(x) dx\int x \cdot f(x) \, dx.3 pts
iii
Calcule la derivada de la función g(x)=6ln⁡(5−3x)+3x2sen⁡(7x−5)g(x) = 6 \ln(5 - 3x) + 3x^2 \sen(7x - 5).3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Considere la función f(x)=−x2+2x+3f(x) = -x^2 + 2x + 3.
i
Calcule los puntos de corte con los ejes.1 pt
ii
Calcule los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.3 pts
iii
Dibuje el recinto limitado por la función f(x)f(x), el eje OXOX y las rectas x=−2x = -2 y x=2x = 2.2 pts
iv
Calcule el área de dicho recinto.4 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
En una prueba de evaluación sorpresa para 5050 estudiantes, 2020 de ellos hacen una prueba tipo test y 3030 de ellos resuelven un problema. El 90%90\% de los estudiantes que hacen la prueba tipo test han aprobado y 2424 estudiantes que resuelven un problema han aprobado.
i
Se elige al azar un estudiante. Calcule la probabilidad de que no haya aprobado.2 pts
ii
Se elige al azar un estudiante. Si el estudiante ha aprobado, ¿qué es más probable, que haya hecho un examen tipo test o un problema? Calcule dicha probabilidad.4 pts
iii
Se elige un estudiante de examen tipo test y otro estudiante de examen con problema. Calcule la probabilidad de que los dos hayan aprobado.4 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
A partir de una muestra de 200200 jóvenes entre 1818 y 2525 años, se observó que 5050 no usan transporte público.
i
Calcule un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usan transporte público, con un nivel de confianza del 96%96\%. Interprete la solución en el contexto del problema.5 pts
ii
Calcule el tamaño muestral para que la amplitud del intervalo se reduzca a la tercera parte, con un nivel de confianza del 98%98\%.5 pts
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