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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2026

5 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a los ejercicios 1, 2 y 3 y elige una de las dos alternativas en el 4 y en el 5.
Puntuación
La puntuación de cada pregunta o apartado figura en el enunciado.
Material
Calculadora científica básica y reglas. No se permiten calculadoras gráficas ni programables.
Además
Justifica las respuestas utilizando lenguaje matemático y/o no matemático, según corresponda. En caso de contestar dos problemas de una misma parte, solo se evalúa el primero.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Parte A
En un estudio de grabación se han colocado tres micrófonos colgados del techo con cables de distintas longitudes para grabar un concierto acústico. Considerando un sistema de referencia en el que el origen se encuentra en el suelo de la sala, el techo del estudio se sitúa a una altura de 7 m7\,\text{m}, tal como se muestra en la figura. Los micrófonos se colocan en las siguientes posiciones: • Micrófono 1 (M1M_1): coordenadas x=2x = 2, y=3y = 3, colgado del techo con un cable de longitud 1 m1\,\text{m}. • Micrófono 2 (M2M_2): coordenadas x=4x = 4, y=4y = 4, colgado del techo con un cable de longitud 2 m2\,\text{m}. • Micrófono 3 (M3M_3): coordenadas x=5x = 5, y=1y = 1, colgado del techo con un cable de longitud 3 m3\,\text{m}. Durante el ensayo, un músico se sitúa en el punto P(4,3,0)P(4, 3, 0), que representa su posición sobre el escenario.
Tres micrófonos suspendidos del techo de una sala con ejes de coordenadas y un músico en el suelo.
a
Determina las coordenadas de los tres micrófonos y calcula la ecuación del plano que los contiene.1 pt
b
Sea π\pi el plano que contiene los micrófonos M1M_1, M2M_2 y M3M_3. Con el fin de mejorar la calidad del sonido, se desea colocar un cuarto micrófono M4M_4 de manera que sea la proyección ortogonal del punto PP sobre el plano π\pi. Determina las coordenadas de este cuarto micrófono.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Parte A
Sea f(x)=4x3x2+1ln⁡(x)f(x) = \dfrac{4x^3}{x^2 + 1}\ln(x). Calcula lim⁡x→0+f(x)\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Parte A
Una plataforma de streaming de videojuegos ha analizado los hábitos de sus usuarios durante un año. El estudio muestra que el 40 %40\,\% de los usuarios juegan principalmente a juegos competitivos en línea. De entre estos usuarios competitivos, el 30 %30\,\% participa habitualmente en torneos oficiales. En cambio, de entre los usuarios que no juegan principalmente a juegos competitivos, se sabe que el 20 %20\,\% también participa en torneos oficiales.
a
Si se selecciona aleatoriamente un usuario que no juega principalmente a juegos competitivos, ¿cuál es la probabilidad de que no participe en torneos oficiales?0,5 pts
c
Si se selecciona aleatoriamente un usuario y se sabe que participa en torneos oficiales, ¿qué es más probable, que juegue principalmente a juegos competitivos o que no?1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Parte B

Contestad solo UNA de las siguientes preguntas (P4.1 o P4.2)

Se pretende estudiar la intensidad de la señal eléctrica registrada por un electrodo implantado en un área de la corteza cerebral. La intensidad de la señal I(t)I(t) (en microvoltios) en función del tiempo tt (en milisegundos) después de un estímulo viene dada por la funciónI(t)=50te−0,2tt≥0.I(t) = 50t e^{-0{,}2t}\qquad t \geq 0.
a
Calcula en qué instante de tiempo la intensidad de la señal es máxima y cuál es dicha intensidad.1 pt
b
Calcula una primitiva de la función I(t)I(t), es decir, determina ∫I(t) dt\displaystyle\int I(t)\,dt.1 pt
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Contestad solo UNA de las siguientes preguntas (P4.1 o P4.2)

La desviación vertical de un dron, y(t)y(t) (en metros), respecto de una altura de referencia tras una perturbación inicial, se describe a lo largo del tiempo tt (en segundos) comoy(t)=t3+t2+2t−1t4+2,t≥0,y(t) = \frac{t^3 + t^2 + 2t - 1}{t^4 + 2},\qquad t \geq 0,donde los valores positivos de y(t)y(t) indican que el dron se encuentra por encima de la altura de referencia, mientras que los valores negativos indican que se encuentra por debajo de esta. Demuestra que existe al menos un instante de tiempo tt en el que el dron se encuentra exactamente a la altura de referencia.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Parte B

Contestad solo UNA de las siguientes preguntas (P5.1 o P5.2)

Sean AA y BB dos matrices 3×33 \times 3 tales que AA es invertible yAB+A+I=2A,AB + A + I = 2A,con II la matriz identidad de dimensión 3×33 \times 3.
a
Calcula la inversa de AA en función de II y BB.1 pt
b
SeanB=(012111031)B = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1\end{pmatrix}yb=(010),\mathbf{b} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},calcula x\mathbf{x} tal que Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}, donde AA cumple la igualdad del enunciado.1 pt
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Contestad solo UNA de las siguientes preguntas (P5.1 o P5.2)

En un estudio de mezclas químicas, se preparan tres componentes químicos utilizando tres sustancias diferentes. Las cantidades (en litros) de cada sustancia utilizada son xx, yy y zz. Las condiciones experimentales imponen las siguientes relaciones:{x+y+z=3,2x+y+z=4,x+y+mz=3,\begin{cases}x + y + z = 3, \\ 2x + y + z = 4, \\ x + y + mz = 3,\end{cases}donde m≥0m \geq 0 es un parámetro real que depende de la concentración de un catalizador. Discute, según los valores del parámetro mm, si se pueden determinar o no las cantidades de cada sustancia.
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