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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Pueden utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
a
¿Comprobad si la inversa de la matriz A=(2/22/2−2/22/2){\cal A} = \begin{pmatrix} \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{pmatrix} coincide con su transpuesta?4 pts
b
Determinad, en los casos en que sea posible, las soluciones del sistema de ecuaciones(1101k101k/2)(xyz)=(000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 \\ 0 & 1 & k/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}6 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
a
Representad gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes:2x+5y≤502x + 5y \leq 503x+5y≤553x + 5y \leq 555x+2y≤605x + 2y \leq 60x+y≤18x + y \leq 18x≥0,y≥0x \geq 0, y \geq 0Indicad si es o no una región acotada del plano. Señalad sobre la gráfica los vértices con sus coordenadas, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimitan.5 pts
b
Indicad la posición de los puntos P=(5,5)P = (5, 5) y Q=(12,12)Q = (12, 12) en relación con la región determinada en el apartado a). En caso de que el punto sea exterior indicad, comprobándolo algebraicamente, cuál o cuáles de las inecuaciones no cumple.3 pts
c
Para la región representada en el apartado a) determinad en qué puntos toma el valor máximo la función h(x,y)=400x+500y+1000h(x, y) = 400x + 500y + 1000.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la función:P(t)=15+t2(t+1)2P(t) = \frac{15 + t^2}{(t + 1)^2}donde tt se mide en años transcurridos desde t=0t = 0.
1
Calculad la población inicial y la población al cabo de 3 años.2 pts
2
El año en que se conseguirá la mínima población. ¿Cuál será el tamaño de esta población?6 pts
3
¿Cuál será el tamaño de la población a largo plazo?2 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
La altura media de los jóvenes de 20 años de un pueblo sigue una distribución normal de media 174 cm174\,\text{cm} y desviación típica 10 cm10\,\text{cm}. Se elige una muestra aleatoria simple de 144 jóvenes. Sea xˉ\bar{x} la media muestral de las alturas observadas.
a
¿Cuáles son la media y la varianza de la variable aleatoria xˉ\bar{x}?4 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que la altura media de la muestra esté comprendida entre 173 cm173\,\text{cm} y 175 cm175\,\text{cm}?6 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
a
En una ebanistería producen sillas, mesas y armarios a razón de un total de 350 piezas/mes. Las horas de mano de obra invertidas son 2 horas por silla, 3 horas por mesa y 5 horas por armario, y se utiliza 1 plancha de madera por silla, 2 planchas por mesa y 3 planchas por armario. Si se dispone de un total de 1.0501.050 horas y de 625 planchas de madera al mes, ¿cuántas unidades de cada mueble pueden fabricar en este tiempo?7 pts
b
Determinad el valor de aa que hace que la matriz siguiente no tenga inversa: (13312325a)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & a \end{pmatrix}3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
a
Representad gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes:x+y≤14x + y \leq 142x+3y≤362x + 3y \leq 364x+y≥164x + y \geq 16x−3y≤0x - 3y \leq 0Indicad si es o no una región acotada del plano. Señalad sobre la gráfica los vértices con sus coordenadas, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimitan.6 pts
b
¿Qué restricciones satisfacen los puntos P=(0,5)P = (0, 5), Q=(5,15)Q = (5, 15) y R=(0,15)R = (0, 15)?4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considerad la siguiente función f(x)=−4x1+x2f(x) = \frac{-4x}{1 + x^2}. Se pide:
a
Calculad la derivada de f(x)f(x).2 pts
b
Resolved la ecuación f′(x)=0f'(x) = 0.1 pt
c
Determinad los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x).2 pts
d
Determinad los puntos máximos y mínimos de la función f(x)f(x).1 pt
e
Calculad f′′(x)f''(x) y resolved la ecuación f′′(x)=0f''(x) = 0. Contestad si pueden existir o no puntos de inflexión.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Un fabricante garantiza que la duración media de su producto A es de 1.2001.200 horas con una desviación típica de 5555 horas. Para comprobar lo que dice el fabricante respecto a la duración, se ha realizado una prueba con 81 unidades del producto y se ha obtenido una duración media de 1.1911.191 horas. ¿Podemos aceptar que la duración media del producto A es exactamente la que dice el fabricante con un nivel de significación del 8%8\%?
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