Matemáticas CCSS · Baleares 2015

¿Comprobad si la inversa de la matriz ${\cal A} = \begin{pmatrix} \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{pmatrix}$ coincide con su transpuesta?

Determinad, en los casos en que sea posible, las soluciones del sistema de ecuaciones $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 \\ 0 & 1 & k/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

En una ebanistería producen sillas, mesas y armarios a razón de un total de 350 piezas/mes. Las horas de mano de obra invertidas son 2 horas por silla, 3 horas por mesa y 5 horas por armario, y se utiliza 1 plancha de madera por silla, 2 planchas por mesa y 3 planchas por armario. Si se dispone de un total de $1.050$ horas y de 625 planchas de madera al mes, ¿cuántas unidades de cada mueble pueden fabricar en este tiempo?

Determinad el valor de $a$ que hace que la matriz siguiente no tenga inversa: $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & a \end{pmatrix}$

Representad gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes: $$2x + 5y \leq 50$$ $$3x + 5y \leq 55$$ $$5x + 2y \leq 60$$ $$x + y \leq 18$$ $$x \geq 0, y \geq 0$$ Indicad si es o no una región acotada del plano. Señalad sobre la gráfica los vértices con sus coordenadas, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimitan.

Indicad la posición de los puntos $P = (5, 5)$ y $Q = (12, 12)$ en relación con la región determinada en el apartado a). En caso de que el punto sea exterior indicad, comprobándolo algebraicamente, cuál o cuáles de las inecuaciones no cumple.

Para la región representada en el apartado a) determinad en qué puntos toma el valor máximo la función $h(x, y) = 400x + 500y + 1000$.

Representad gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones lineales siguientes: $$x + y \leq 14$$ $$2x + 3y \leq 36$$ $$4x + y \geq 16$$ $$x - 3y \leq 0$$ Indicad si es o no una región acotada del plano. Señalad sobre la gráfica los vértices con sus coordenadas, así como la ecuación que corresponde a cada una de las rectas que la delimitan.

¿Qué restricciones satisfacen los puntos $P = (0, 5)$, $Q = (5, 15)$ y $R = (0, 15)$?

Calculad la población inicial y la población al cabo de 3 años.

El año en que se conseguirá la mínima población. ¿Cuál será el tamaño de esta población?

¿Cuál será el tamaño de la población a largo plazo?

Calculad la derivada de $f(x)$.

Resolved la ecuación $f'(x) = 0$.

Determinad los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$.

Determinad los puntos máximos y mínimos de la función $f(x)$.

Calculad $f''(x)$ y resolved la ecuación $f''(x) = 0$. Contestad si pueden existir o no puntos de inflexión.

¿Cuáles son la media y la varianza de la variable aleatoria $\bar{x}$?

¿Cuál es la probabilidad de que la altura media de la muestra esté comprendida entre $173\,\text{cm}$ y $175\,\text{cm}$?