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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCantabriaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas CCSS · Cantabria 2016

3 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija una de las dos opciones. No se admitirá ningún resultado si no está debidamente razonado. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de cualquier otro dispositivo que pueda ejercer esta función. Los dispositivos que pueden conectarse a internet, o que pueden recibir o emitir información, deben estar apagados durante la celebración del examen.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
a
Dada la matriz A=(−13a20−2a31−2)A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & a^2 \\ 0 & -2 & a \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}, analizar su rango según los valores del parámetro aa.1,5 pts
b
Sea el sistema de ecuaciones lineales{−x+3y=a2−2y=a3x+y=−2\begin{cases} -x + 3y = a^2 \\ -2y = a \\ 3x + y = -2 \end{cases}Basándose en los resultados obtenidos en el apartado anterior:1,5 pts
b.1
¿Para qué valores de aa tenemos un sistema compatible determinado?0,75 pts
b.2
¿Para qué valores de aa tenemos un sistema incompatible?0,75 pts
c
Resolver los casos compatibles del sistema anterior.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
El coste de producción de xx unidades mensuales de un determinado producto es C(x)=x22+25x+25C(x) = \frac{x^2}{2} + 25x + 25, y el precio de venta de cada unidad es 70−x370 - \frac{x}{3} euros. Hallar el número de unidades que deben venderse mensualmente para que el beneficio sea máximo. ¿A cuánto asciende dicho beneficio? ¿Y los ingresos?1,75 pts
b
Una función f(x)f(x) tiene como primera derivada f′(x)=ax2−4x+3f'(x) = ax^2 - 4x + 3. Hallar el valor del parámetro aa si f(x)f(x) pasa por los puntos (−1,3)(-1, 3) y (2,1)(2, 1). Indicar también la expresión de la función ff y calcular ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Una organización de consumidores ha analizado el comportamiento de tres marcas de lavadoras durante todo un año. En concreto, se ha seguido la pista de 350 unidades: 125 de la marca A, 75 de la marca B y 150 de la marca C. En la siguiente tabla se indica cuáles de ellas han sufrido alguna avería durante el año:
Marca AMarca BMarca CTotal
Avería35152070
No avería9060130280
Total12575150350
a
¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora haya sufrido una avería?1 pt
b
Si se escoge una lavadora al azar y no ha sufrido ninguna avería, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?1 pt
c
¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora de la marca A haya tenido una avería? ¿Qué marca crees que es más fiable? Justifica la respuesta.1 pt
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Ejercicio 1

1
3,5 puntos
a1
Sea la matriz A=(203−13201−1)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}. Calcula su determinante.0,5 pts
a2
Dada la matriz B=(2033−9−601−1)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 3 & -9 & -6 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, ¿podrías determinar el valor de su determinante con una sola operación aritmética? Justifica la respuesta.0,5 pts
a3
Dada la matriz C=(230−1230−11)C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, ¿podrías determinar el valor de su determinante con una sola operación aritmética? Justifica la respuesta.0,5 pts
b
Resolver la ecuación matricial B(At+X)=CB(A^t + X) = C donde A=(20−1312)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, B=(200111−131)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, C=(1020−14)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, y AtA^t es la matriz traspuesta de AA.2 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Dada la función f(x)={3x−asi x≤−2x2+3x−2si −2<x≤32bx+10x2+x−2si x>3f(x) = \begin{cases} 3x - a & \text{si } x \leq -2 \\ x^2 + 3x - 2 & \text{si } -2 < x \leq 3 \\ \frac{2bx + 10}{x^2 + x - 2} & \text{si } x > 3 \end{cases} determinar los valores de los parámetros aa y bb para los cuales es continua en todo su dominio.1,75 pts
b
Consideremos la función g(x)=x2+1x2+x−12g(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + x - 12}. Determinar sus asíntotas. Si existen asíntotas verticales, esbozar la posición de la gráfica respecto a las mismas, calculando previamente los límites laterales correspondientes.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
La asistencia anual al cine de los habitantes de determinada ciudad sigue una distribución normal con desviación típica 33. Una muestra aleatoria de 375375 personas da como resultado una cifra media de 1515 asistencias al año.
Datos
  • F(x)=p(X≤x)=∫−∞x12πe−12t2dtF(x) = p(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal estándar con el área sombreada desde menos infinito hasta un valor x.
a
Obtener el intervalo de confianza del 98%98\% para la asistencia media anual.1,5 pts
b
¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 92%92\% sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior?1,5 pts
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