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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos que puedan transmitir o almacenar información. Se pueden usar reglas y bolígrafos de colores (excepto rojo y verde).

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Part A
Dados dos eventos, AA y BB, de un experimento aleatorio, sabemos que P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, que P(B)=0,1P(B) = 0{,}1, y que P(A∣B)=xP(A \mid B) = x, donde x∈[0,1]x \in [0, 1]. Se pide:
a
¿Existe algún valor de xx para el cual los eventos sean independientes?1 pt
b
¿Para qué valor de xx se tiene que la probabilidad de A∩BA \cap B es máxima?1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
Part B

Elija solo un problema de esta parte (B1 o B2).

En una fábrica textil fabricamos vestidos, camisetas y faldas. – Cada vestido requiere 5 m25\,\text{m}^2 de tejido y 5 botones. – Cada camiseta requiere 4 m24\,\text{m}^2 de tejido y 3 botones. – Cada falda requiere 4 m24\,\text{m}^2 de tejido y ningún botón.
a
Si queremos fabricar 10 vestidos, 15 camisetas y 20 faldas, ¿cuántos m2\text{m}^2 de tejido y cuántos botones necesitamos?0,5 pts
b
Resuelve el sistema de ecuaciones siguiente:(544530)⋅(xyz)=(100120)\begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 5 & 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 120 \end{pmatrix}1,5 pts
c
Si disponemos de 100 m2100\,\text{m}^2 de tejido y 120 botones, ¿podemos utilizar completamente los recursos fabricando productos?1 pt
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Ejercicio 1 · Opción C

1Opción C
3 puntos
Part C

Elija solo un problema de esta parte (C1 o C2).

Restringidos al dominio x∈[0,20]x \in [0, 20], considera las tres funciones siguientes:f(x)=x(10−x),g(x)=125−20x,h(x)={f(x)si 0≤x≤15,g(x)si 15<x≤20.f(x) = x(10 - x), \qquad g(x) = 125 - 20x, \qquad h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } 0 \leq x \leq 15, \\ g(x) & \text{si } 15 < x \leq 20. \end{cases}
a
¿Para qué xx se tiene que f(x)=g(x)f(x) = g(x)? ¿Para qué xx se tiene que f′(x)=g′(x)f'(x) = g'(x)?1 pt
b
Estudia la continuidad de la función h(x)h(x).1 pt
c
¿Es la función h(x)h(x) derivable? ¿En qué intervalos es creciente?1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Part A

Conteste un problema a elegir entre el problema A2 y el problema A3.

El Instituto Nacional de Estadística (INE) dispone de estos datos, para el 2023, sobre la cantidad de habitantes en España por nacionalidad y sexo:
EspañolesExtranjeros
Hombres20,6 millones3,0 millones
Mujeres21,2 millones3,3 millones
a
Escogiendo un habitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea extranjero?1 pt
b
Escogiendo dos habitantes al azar de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno sea extranjero?1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Part B

Elija solo un problema de esta parte (B1 o B2).

Considera las matrices cuadradas A,B,M,yNA, B, M, y N de tamaño 3×33 \times 3.
a
Calcula todos los valores de xx tales que A2=AA^2 = A, donde:A=(7x49x6−62−3)A = \begin{pmatrix} 7 & x & 4 \\ 9 & x & 6 \\ -6 & 2 & -3 \end{pmatrix}1 pt
b
Encuentra una matriz BB invertible, tal que B2=BB^2 = B.1 pt
c
Dadas dos matrices MM y NN invertibles tales que M2=MM^2 = M y N2=NN^2 = N, construimos la matriz siguiente: C=N⋅M⋅N−1C = N \cdot M \cdot N^{-1}. ¿Es cierto que C2=CC^2 = C?1 pt
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Ejercicio 2 · Opción C

2Opción C
3 puntos
Part C

Elija solo un problema de esta parte (C1 o C2).

Considera la función f(x)=10x+x10f(x) = 10^x + x^{10}, para x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
a
Calcula lim⁡x→0f(x)\lim_{x \to 0} f(x) y lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x).1 pt
b
Calcula f′(x)f'(x).1 pt
c
Calcula justificadamente ∫01f′(x) dx\int_{0}^{1} f'(x) \, dx.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Part A

Conteste un problema a elegir entre el problema A2 y el problema A3.

Supongamos que, cuando un cliente entra en una tienda de electrodomésticos, el tiempo que pasa dentro viene dado por una variable aleatoria XX que sigue una distribución normal de media poblacional μ=15\mu = 15 minutos y desviación típica σ=10\sigma = 10 minutos: X∼N(15,10)X \sim N(15, 10).
a
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda 25 minutos o menos?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente esté dentro de la tienda entre 5 y 25 minutos?1 pt
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