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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2026OrdinariaVariante Serie 5

Matemáticas II · Cataluña 2026

4 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a todas las cuestiones de los ejercicios 1, 2 y 3. En el ejercicio 4, elige una de las dos opciones (A o B).
Puntuación
Cada ejercicio vale 2,5 puntos.
Material
Calculadora que no almacene datos ni transmita o reciba información.
Además
Explica siempre qué quieres hacer y por qué. Redacta las respuestas con coherencia y claridad, empleando la notación y el vocabulario matemático adecuados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la parábola y=f(x)y = f(x), con f(x)=−x2+5xf(x) = -x^2 + 5x, y la hipérbola y=g(x)y = g(x), con g(x)=8−8x+1g(x) = 8 - \frac{8}{x + 1}.
1.1
¿En cuántos puntos se cortan las gráficas de estas dos funciones? Calcúlelos todos.0,75 pts
1.2
Calcule el área de la región situada entre las dos curvas desde x=1x = 1 hasta x=3x = 3.1 pt
1.3
Compruebe que f(x)f(x) tiene sus raíces en los puntos de abscisa x=0x = 0 y x=5x = 5, y que la ordenada del vértice de la parábola y=f(x)y = f(x) es y=6,25y = 6{,}25. Justifique que y=f(x)y = f(x) es la única parábola que existe con estas dos propiedades.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere las matrices M=(330k−1−1−1)M = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ k - 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} y N=(31k−1002)N = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ k - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, donde kk es un número real cualquiera.
2.1
Calcule los valores de kk para los cuales MNMN es invertible.0,75 pts
2.2
Calcule los valores de kk para los cuales NMNM es invertible.0,75 pts
2.3
Estudie para qué valores reales de mm, nn y kk el sistema M(xyz)=(mn)M\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix} es compatible indeterminado.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
En una ciudad se ha estudiado la relación entre los hábitos de lectura y la práctica de deporte entre el alumnado de bachillerato. Para ello, se han formulado las dos preguntas siguientes al alumnado de esta etapa educativa: «¿Lees como mínimo dos libros al mes?» y «¿Practicas algún deporte al menos cuatro horas por semana?». De los resultados de la encuesta, se desprende que el 60 %60\,\% leen como mínimo dos libros al mes, de los cuales el 70 %70\,\% practican algún deporte un mínimo de cuatro horas por semana. También se observa que, de entre los que no leen un mínimo de dos libros al mes, el 50 %50\,\% hacen menos de cuatro horas semanales de deporte. Si se elige al azar un alumno/a de bachillerato de esta ciudad:
3.1
¿Cuál es la probabilidad de que haga deporte al menos cuatro horas semanales?0,75 pts
3.2
Si se sabe que este alumno/a hace deporte menos de cuatro horas semanales, ¿cuál es la probabilidad de que lea al menos dos libros al mes?0,75 pts
3.3
Alba es una estudiante de bachillerato que ha ido anotando durante todo el curso cuántas horas dedicaba a la semana a leer y cuántas a hacer deporte. Para cada semana tiene apuntado un número real xx que corresponde a la cantidad de horas de lectura y que oscila entre 11 y 66, y un número real yy que corresponde a la cantidad de horas de práctica deportiva. Ha observado que la relación y=7−x+ln⁡(2x−1)y = 7 - x + \ln(2x - 1) se ajusta bastante bien a los datos que ha anotado. Calcule, según este modelo, cuál es el máximo y el mínimo de horas por semana que Alba ha dedicado a practicar deporte.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean.

De una función f(x)f(x), se sabe que pasa por el punto (−1,−1)(-1, -1) y que la gráfica de su función derivada es la siguiente:
Gráfica de la función derivada con cuadrícula de una unidad y la misma escala en ambos ejes; las marcas van de −4 a 4.
4.1
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto (−1,−1)(-1, -1).1 pt
4.2
Estudie si f(x)f(x) tiene puntos críticos (puntos donde f′(x)=0f'(x) = 0) y, en caso de tenerlos, determine sus abscisas y clasifíquelos según sean máximos, mínimos o puntos de inflexión de f(x)f(x).1 pt
4.3
Sabiendo, además, que f(0)=−0,2f(0) = -0{,}2, calcule el área entre la gráfica de f′(x)f'(x) y el eje de abscisas, desde x=−1x = -1 hasta x=0x = 0.0,5 pts
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Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a las cuestiones que se plantean.

En una industria se usan brazos robóticos con sensores para medir con precisión determinadas piezas metálicas y comprobar si tienen irregularidades. Las piezas se colocan sobre la superficie determinada por el plano π:(x,y,z)=(6,1,1)+λ(1,1,0)+μ(0,0,1)\pi: (x, y, z) = (6, 1, 1) + \lambda(1, 1, 0) + \mu(0, 0, 1) y, por encima de ella, un brazo robótico desplaza un sensor desde el punto A=(1,2,3)A = (1, 2, 3) hasta el punto B=(5,3,7)B = (5, 3, 7) en línea recta (las unidades de los tres ejes de coordenadas están expresadas en centímetros).
4.1
¿Qué distancia ha recorrido el sensor?0,5 pts
4.2
Al acabar el movimiento, ¿a qué distancia de la superficie se encuentra el sensor?1 pt
4.3
Si el sensor siguiera moviéndose en la misma línea recta y en el mismo sentido, ¿en qué punto chocaría con la superficie?1 pt
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