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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2022

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. OBSERVACIONES IMPORTANTES: Se debe responder a un máximo de 4 cuestiones y no es necesario hacerlo en el mismo orden en que están enunciadas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 cuestiones, sólo se corregirán las cuatro primeras, en el orden que haya respondido el estudiante. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
La suma de las edades de Carmela, Esperanza y Aurora es 68 años. La edad de Carmela es 5 años más que la mitad de la suma de las edades de Esperanza y Aurora. Además, dentro de 4 años la edad de Aurora será la edad que actualmente tiene Esperanza. Calcule las edades de cada una de ellas.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere las matrices A=(0341−4−5−134)A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} y B=(100110111)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
a
Si II denota la matriz identidad de orden 3, compruebe que A3=−IA^3 = -I y calcule A2023A^{2023}.1 pt
b
Calcule la inversa de AA.0,5 pts
c
Resuelva la ecuación matricial AX−BT=A2AX - B^T = A^2, donde BTB^T denota la matriz traspuesta de BB.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a). Un triatleta participa en una competición de SwimRun en la que debe ir desde el punto AA, situado en la orilla de un canal de agua en reposo de 2 kilómetros de ancho, hasta el punto BB, situado en la otra orilla del canal y a una distancia de 10 kilómetros del punto CC (punto opuesto de AA), tal y como se indica en la figura. Para ello, debe ir nadando desde AA hasta cualquier punto DD de la otra orilla del canal y continuar corriendo desde DD hasta BB. El triatleta tiene plena libertad para elegir DD.
Diagrama del recorrido del triatleta cruzando el canal desde A hasta D y corriendo hasta B, con distancias indicadas de 2 km de ancho y 10 km totales en la orilla opuesta.
a
Sabiendo que el triatleta es capaz de nadar a una velocidad de 4 km/h4\,\text{km/h} y de correr a una velocidad de 12 km/h12\,\text{km/h}, demuestre que el tiempo total empleado por el triatleta en ir desde AA hasta BB (pasando por DD) viene dado por la función f(x)=x2+44+10−x12f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4} + \frac{10 - x}{12}, donde xx denota la distancia de CC a DD.1 pt
b
Calcule cuál debe ser el punto DD para que el tiempo empleado por el triatleta en ir desde AA hasta BB sea mínimo. ¿Cuánto tardará en dicho caso?1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere la función f(x)=xln⁡(x)f(x) = x \ln(x), definida para x>0x > 0.
a
Calcule la derivada de f(x)f(x) y determine sus intervalos de crecimiento y/o decrecimiento.1 pt
b
Calcule la integral indefinida de la función f(x)f(x).1 pt
c
Determine la primitiva de la función f(x)f(x) cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas (1,0)(1,0).0,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere las siguientes rectas:r ⁣:x+2−1=y−31=z0ys ⁣:{x−z=0y=1r \colon \frac{x + 2}{-1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{0} \quad y \quad s \colon \begin{cases} x - z = 0 \\ y = 1 \end{cases}
a
Estudie la posición relativa de ambas rectas.1 pt
b
En caso de que las rectas se corten, calcule la ecuación del plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.1,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere los puntos A=(1,1,2)A = (1, 1, 2) y B=(3,5,2)B = (3, 5, 2).
a
Determine la ecuación del plano π\pi perpendicular al segmento ABAB y que pasa por el punto medio de dicho segmento.1,5 pts
b
Calcule la distancia del punto AA al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Dos urnas AA y BB contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna AA contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras, y la urna BB contiene 2 bolas verdes, 4 bolas negras y 3 bolas rojas. Se saca al azar una bola de la urna AA y se mete en la urna BB. A continuación, se saca al azar una bola de la urna BB. Calcule:
a
La probabilidad de que la bola que se saca de la urna BB sea roja.0,75 pts
b
La probabilidad de que la bola que se saca de la urna BB sea verde, sabiendo que la bola que se sacó de la urna AA era verde.0,75 pts
c
La probabilidad de que la bola que se saca de la urna BB sea negra.1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades. El cociente intelectual (CI) de los estudiantes universitarios sigue una distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ\sigma desconocidas. Se sabe que la media es igual a 10 veces la desviación típica y que el 93,32%93{,}32\% de los estudiantes tiene un CI menor de 115.
a
Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.1,5 pts
b
Si se eligen al azar 5 estudiantes universitarios, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de ellos tengan un CI mayor de 115?1 pt
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