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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAndalucíaPAU 2024Ordinaria

Matemáticas CCSS · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque a
Se consideran las matrices A=(11−2a−3a−1102a)B=(−132)C=(−214),siendo a un nuˊmero real.A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ a - 3 & a - 1 & 1 \\ 0 & 2 & a \end{pmatrix} \qquad B = (-1 \quad 3 \quad 2) \qquad C = (-2 \quad 1 \quad 4), \quad \text{siendo } a \text{ un número real.}
a)0,75 pts
Obtenga los valores de aa para los que la matriz AA tenga inversa.
b)1,25 pts
Para a=1a = 1, resuelva la ecuación A⋅X−Bt=Ct⋅BA \cdot X - B^t = C^t \cdot B.
c)0,5 pts
Determine razonadamente la dimensión de la matriz DD que permita realizar la operación B⋅A+D⋅Ct⋅BB \cdot A + D \cdot C^t \cdot B
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque a
Un agricultor posee una finca con un olivar intensivo de secano y desea transformar una parte de la misma en regadío, pero manteniendo un mínimo de 20 hectáreas de cultivo de secano. Para ello, anualmente dispone de 30000 m330000\,\text{m}^3 de agua, de 5500 kg5500\,\text{kg} de abono y de 3000 kg3000\,\text{kg} de productos fitosanitarios. Cada hectárea de olivar de regadío necesita 1500 m31500\,\text{m}^3 de agua, 110 kg110\,\text{kg} de abono y 80 kg80\,\text{kg} de productos fitosanitarios; mientras que cada hectárea de olivar de secano precisa de 100 kg100\,\text{kg} de abono y 50 kg50\,\text{kg} de productos fitosanitarios. Se sabe que la producción anual por hectárea es de 5000 kg5000\,\text{kg} en secano y de 10000 kg10000\,\text{kg} en regadío. Determine el número de hectáreas de olivar de secano y de regadío que el agricultor debe cultivar para maximizar su producción, así como la producción máxima esperada.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque b
a)1,5 pts
Calcule la derivada de las funciones siguientes: f(x)=(x2+2)3⋅e−2xg(x)=ln⁡(1−x3)(1−2x2)2f(x) = (x^2 + 2)^3 \cdot e^{-2x} \quad g(x) = \frac{\ln(1 - x^3)}{(1 - 2x^2)^2}
b)1 pts
Halle los valores de aa y bb para que sea horizontal la recta tangente a la gráfica de la función h(x)=x3+ax2+3x+bh(x) = x^3 + ax^2 + 3x + b en el punto P(1,2)P(1, 2).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque b
La velocidad media del viento en la zona de Sierra Nevada, prevista para cierto día, viene dada por la función v(t)v(t) expresada en km/h\text{km/h}, donde tt es el tiempo expresado en horas: v(t)={t2−8t+60si 0≤t≤10−t2+32t−140si 10<t≤24v(t) = \begin{cases} t^2 - 8t + 60 & \text{si } 0 \leq t \leq 10 \\ -t^2 + 32t - 140 & \text{si } 10 < t \leq 24 \end{cases}
a)0,75 pts
Compruebe que la función vv es continua y derivable.
b)1 pts
Represente gráficamente la función, estudiando previamente la monotonía y calculando los extremos absolutos.
c)0,75 pts
La Agencia Estatal de Meteorología emite avisos de alerta por vientos siguiendo el código de colores: naranja para vientos entre 100 y 140 km/h140\,\text{km/h}, y rojo para vientos de más de 140 km/h140\,\text{km/h}. Según la previsión, indique si se debe emitir alguna alerta naranja en Sierra Nevada ese día y durante qué horas estaría activa. ¿Se emitiría alerta roja?
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque c
Una agencia ha realizado un estudio acerca de la siniestralidad de los vehículos de una región. Se ha dividido a los conductores en dos grupos: jóvenes los menores de 30 años y sénior el resto de conductores. Asimismo, también se ha dividido a los vehículos en dos grupos: nuevos los que tienen menos de 5 años de antigüedad y viejos el resto de vehículos. De los 54 siniestros registrados, en 19 de ellos el vehículo implicado era nuevo y en 29 los conductores eran jóvenes. Finalmente, 21 de los siniestros se dieron con vehículos viejos y conductores jóvenes. Se escoge uno de estos siniestros al azar.
a)1 pts
Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo.
b)1 pts
Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo.
c)0,5 pts
Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: "Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo".
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque c
Un grupo de turistas programa una visita a la Geoda de Pulpí. El 42% de los turistas del grupo proceden de Andalucía, el 32% de otras comunidades autónomas y el resto del extranjero. Son mayores de edad el 65% de los visitantes que proceden de Andalucía y el 75% de los que proceden de otras comunidades autónomas. Son menores de edad el 20% de los visitantes extranjeros. Elegido un turista de este grupo al azar, halle la probabilidad de que:
a)1 pts
Sea mayor de edad.
b)0,5 pts
Proceda de Andalucía y sea menor de edad.
c)1 pts
Sea extranjero sabiendo que es menor de edad.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque d
a)1,5 pts
Se realizan dos muestreos aleatorios estratificados con afijación proporcional para una población dividida en cuatro estratos E1,E2,E3E_1, E_2, E_3 y E4E_4. En la primera muestra se han seleccionado 25 individuos de E1E_1 y 30 de E2E_2. En la segunda muestra se han seleccionado 80 individuos de E3E_3 y 100 de E4E_4. Sabiendo que el estrato E1E_1 tiene 500 individuos y que el E3E_3 tiene 400, determine el tamaño de cada estrato de la población y el tamaño de las muestras en cada estrato.
b)1 pts
Dada la población {−3,−1,2,5,7}\{-3, -1, 2, 5, 7\}, se consideran todas las muestras posibles de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de las medias muestrales.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque d
Se desea conocer la proporción de habitantes de una determinada ciudad que realizan turismo sostenible durante sus vacaciones. Para ello se selecciona al azar una muestra de 2500 habitantes, resultando que 1825 realizan turismo sostenible.
a)1,25 pts
Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 95%, para estimar la proporción de habitantes de la ciudad que realizan turismo sostenible.
b)0,75 pts
Para un nivel de confianza del 97% y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál sería el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1%?
c)0,5 pts
Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo una disminución del tamaño de la muestra.
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