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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2014

3 ejercicios

Instrucciones

BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica. Se prohíbe su utilización indebida (guardar fórmulas o texto en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones {x+3y+2z=−12x+4y+5z=k−2x+k2y+3z=2k\begin{cases} x + 3y + 2z = -1 \\ 2x + 4y + 5z = k - 2 \\ x + k^2y + 3z = 2k \end{cases}, donde kk es un parámetro real se pide:
a
Discutir razonadamente el sistema según los valores de kk.4 pts
b
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, todas las soluciones del sistema cuando k=−1k = -1.3 pts
c
Resolver razonadamente el sistema cuando k=0k = 0.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan el punto A=(−1,0,2)A = (-1, 0, 2), las rectas r:x−12=y3=z−2r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2 y s:{x=−1−2λy=1+3λz=1+λs : \begin{cases} x = -1 - 2\lambda \\ y = 1 + 3\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases} Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La ecuación del plano π\pi que pasa por el punto AA y contiene a la recta rr.3 pts
b
La ecuación del plano σ\sigma que pasa por el punto AA y es perpendicular a la recta ss.3 pts
c
Un vector dirección de la recta ll intersección de los planos π\pi y σ\sigma (2 puntos) y la distancia entre las rectas ss y ll (2 puntos).4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El valor de mm para el cual la función f(x)={m(x+1)e2xx≤0(x+1)sen⁡xxx>0f(x) = \begin{cases} m(x + 1)e^{2x} & x \leq 0 \\ \frac{(x + 1)\sen x}{x} & x > 0 \end{cases} es continua en x=0x = 0.3 pts
b
Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función (x+1)e2x(x + 1)e^{2x}.3 pts
c
La integral ∫(x+1)e2xdx\int (x + 1)e^{2x} dx (2 puntos) y el área limitada por la curva y=(x+1)e2xy = (x + 1)e^{2x} y las rectas x=0x = 0, x=1x = 1 y y=0y = 0 (2 puntos).4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se dan las matrices A=(1−11011001)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B=(−21−1)B = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} y C=(−113)C = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La matriz inversa A−1A^{-1} de la matriz AA.3 pts
b
La matriz XX que es solución de la ecuación AX=BCAX = BC.4 pts
c
El determinante de la matriz 2M32M^3, siendo MM una matriz cuadrada de orden 2 cuyo determinante vale 12\frac{1}{2}.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se da el triángulo TT, cuyos vértices son A=(1,0,0)A = (1, 0, 0), B=(0,3,1)B = (0, 3, 1), C=(1,2,2)C = (1, 2, 2), y los planos π1:x+y+z+1=0\pi_1 : x + y + z + 1 = 0 y π2:{x=−α+β+1y=α−2βz=α+β\pi_2 : \begin{cases} x = -\alpha + \beta + 1 \\ y = \alpha - 2\beta \\ z = \alpha + \beta \end{cases}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La posición relativa del plano π1\pi_1 y del plano que contiene al triángulo TT.4 pts
b
Un vector n⃗1\vec{n}_1 perpendicular al plano π1\pi_1 y un vector n⃗2\vec{n}_2 perpendicular al plano π2\pi_2 (1,5 puntos) y el coseno del ángulo formado por los vectores n⃗1\vec{n}_1 y n⃗2\vec{n}_2 (1,5 puntos).3 pts
c
Las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se tiene un cuadrado de mármol de lado 80 cm80\,\text{cm}. Se produce la rotura de una esquina y queda un pentágono de vértices A=(20,0)A = (20, 0), B=(0,20)B = (0, 20), C=(0,80)C = (0, 80), D=(80,80)D = (80, 80) y E=(80,0)E = (80, 0). Para obtener una pieza rectangular se elige un punto P=(x,y)P = (x, y) del segmento ABAB y se hacen dos cortes paralelos a los ejes XX e YY. Así se obtiene un rectángulo RR cuyos vértices son los puntos P=(x,y)P = (x, y), F=(y,80)F = (y, 80), D=(80,80)D = (80, 80) y G=(x,80)G = (x, 80). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El área del rectángulo RR en función de xx, cuando 0≤x≤200 \leq x \leq 20.3 pts
b
El valor de xx para el que el área del rectángulo RR es máxima.5 pts
c
El valor del área máxima del rectángulo RR.2 pts
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