Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2014

Dado el sistema de ecuaciones $\begin{cases} x + 3y + 2z = -1 \\ 2x + 4y + 5z = k - 2 \\ x + k^2y + 3z = 2k \end{cases}$, donde $k$ es un parámetro real se pide:

Se dan las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Se dan el punto $A = (-1, 0, 2)$, las rectas $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2$ y $s : \begin{cases} x = -1 - 2\lambda \\ y = 1 + 3\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$ Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Se da el triángulo $T$, cuyos vértices son $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 3, 1)$, $C = (1, 2, 2)$, y los planos $\pi_1 : x + y + z + 1 = 0$ y $\pi_2 : \begin{cases} x = -\alpha + \beta + 1 \\ y = \alpha - 2\beta \\ z = \alpha + \beta \end{cases}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Se tiene un cuadrado de mármol de lado $80\,\text{cm}$. Se produce la rotura de una esquina y queda un pentágono de vértices $A = (20, 0)$, $B = (0, 20)$, $C = (0, 80)$, $D = (80, 80)$ y $E = (80, 0)$. Para obtener una pieza rectangular se elige un punto $P = (x, y)$ del segmento $AB$ y se hacen dos cortes paralelos a los ejes $X$ e $Y$. Así se obtiene un rectángulo $R$ cuyos vértices son los puntos $P = (x, y)$, $F = (y, 80)$, $D = (80, 80)$ y $G = (x, 80)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: