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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2012

4 ejercicios

Instrucciones

Se proponen dos opciones A y B. Debe elegirse una y contestar a sus cuestiones. La puntuación de cada cuestión aparece en la misma. Deben justificarse los pasos que se dan para obtener las respuestas. La simple escritura de un resultado correcto no garantiza que se obtengan los puntos del apartado. 1. Como norma general, se valorarán positivamente la exposición lógica, ordenada y coherente de las respuestas. 2. Si en el desarrollo de una cuestión se detecta un error numérico que no sea inconsistente con la cuestión, y el desarrollo posterior es coherente con dicho error, no se prestará especial atención al error, siempre y cuando el problema no haya quedado reducido a uno trivial o el resultado sea manifiestamente inconsistente con la cuestión a resolver. 3. La comisión de un grave error en una cuestión no debe penalizar la corrección del resto de las cuestiones.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2A=(1011210−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuanto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que utilice):B=(1021240−10)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}0,5 pts
b
Sea C la siguiente matriz:C=(sen⁡(x)−cos⁡(x)0cos⁡(x)sen⁡(x)01sen⁡(x)x)C = \begin{pmatrix} \sen(x) & -\cos(x) & 0 \\ \cos(x) & \sen(x) & 0 \\ 1 & \sen(x) & x \end{pmatrix}Determine los valores de xx para los que la matriz C tiene inversa y calcularla cuando sea posible.2 pts

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dado el punto P=(1,0,6)P = (1, 0, 6) y la recta:r:{x=1+λy=−2−6λz=2λr: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2 - 6\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}
a
Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a rr que pasa por PP y corta a la recta rr.1 pt
b
Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0) del plano que contiene a la recta rr anterior y a la rectar′:{x−z=02x−y−z=10r': \begin{cases} x - z = 0 \\ 2x - y - z = 10 \end{cases}1,5 pts

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere las funciones f(x)=ex+1f(x) = e^{x+1} y g(x)=e−x+5g(x) = e^{-x+5}.
a
Determine los posibles puntos de corte de esas dos funciones.0,5 pts
b
Calcule el área encerrada entre esas dos funciones y las rectas x=1x = 1 y x=3x = 3.2 pts

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se dispone de una cartulina cuadrada como la del dibujo, cuyo lado mide 50 cm50\,\text{cm}. En cada una de las esquinas se corta un cuadrado de lado xx con el fin de poder doblar la cartulina y formar una caja, sin tapa. ¿Cuál debe ser el lado xx del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea máximo?
Esquema de una cartulina cuadrada de 50 cm de lado con recortes cuadrados de lado x en las esquinas para formar una caja.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Determine para qué valores de mm el siguiente sistema de ecuaciones:{mx+2y+6z=02x+my+4z=22x+my+6z=m−1\begin{cases} mx + 2y + 6z = 0 \\ 2x + my + 4z = 2 \\ 2x + my + 6z = m - 1 \end{cases}es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.1,5 pts
b
Se sabe que una matriz simétrica BB de dimensión 3×33 \times 3 tiene como determinante −3-3. Determine el determinante de la matriz B+BtB + B^t donde BtB^t denota la traspuesta de BB.1 pt

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano que es paralelo a la rectar:x−12=y=z−34r: \frac{x - 1}{2} = y = \frac{z - 3}{4}y que contiene los puntos P=(1,1,1)P = (1, 1, 1) y Q=(3,5,0)Q = (3, 5, 0).1 pt
b
Calcule el ángulo que forman las dos rectas siguientes:r:{2x−y=−12x−z=−4r: \begin{cases} 2x - y = -1 \\ 2x - z = -4 \end{cases}r′:x−32=y−4−1=z+52r': \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z + 5}{2}1,5 pts

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Calcule el límite:lim⁡x→+∞(x+6x+2)3x\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{x + 6}{x + 2}\right)^{3x}1 pt
b
Calcule la integral∫0π/2esen⁡(x)sen⁡(x)cos⁡(x) dx\int_{0}^{\pi / 2} e^{\sen(x)} \sen(x) \cos(x) \, dxusando el cambio de variable sen⁡(x)=t\sen(x) = t.1,5 pts

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la funciónf(x)=1x2−x−6f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6}
a
Determine el dominio de f(x)f(x).0,5 pts
b
Estudie si la función f(x)f(x) es continua. Si no lo es, determine los puntos de discontinuidad.0,5 pts
c
Determine los posibles máximos y mínimos, así como las asíntotas de f(x)f(x).1,5 pts