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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2012

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
a)0,5 pts
El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2 A=(1011210−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuanto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que utilice): B=(1021240−10)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
b)2 pts
Sea C la siguiente matriz: C=(sen⁡(x)−cos⁡(x)0cos⁡(x)sen⁡(x)01sen⁡(x)x)C = \begin{pmatrix} \sen(x) & -\cos(x) & 0 \\ \cos(x) & \sen(x) & 0 \\ 1 & \sen(x) & x \end{pmatrix} Determine los valores de xx para los que la matriz C tiene inversa y calcularla cuando sea posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
a)1,5 pts
Determine para qué valores de mm el siguiente sistema de ecuaciones: {mx+2y+6z=02x+my+4z=22x+my+6z=m−1\begin{cases} mx + 2y + 6z = 0 \\ 2x + my + 4z = 2 \\ 2x + my + 6z = m - 1 \end{cases} es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
b)1 pts
Se sabe que una matriz simétrica BB de dimensión 3×33 \times 3 tiene como determinante −3-3. Determine el determinante de la matriz B+BtB + B^t donde BtB^t denota la traspuesta de BB.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Dado el punto P=(1,0,6)P = (1, 0, 6) y la recta: r:{x=1+λy=−2−6λz=2λr: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2 - 6\lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}
a)1 pts
Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a rr que pasa por PP y corta a la recta rr.
b)1,5 pts
Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0) del plano que contiene a la recta rr anterior y a la recta r′:{x−z=02x−y−z=10r': \begin{cases} x - z = 0 \\ 2x - y - z = 10 \end{cases}
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano que es paralelo a la recta r:x−12=y=z−34r: \frac{x - 1}{2} = y = \frac{z - 3}{4} y que contiene los puntos P=(1,1,1)P = (1, 1, 1) y Q=(3,5,0)Q = (3, 5, 0).
b)1,5 pts
Calcule el ángulo que forman las dos rectas siguientes: r:{2x−y=−12x−z=−4r: \begin{cases} 2x - y = -1 \\ 2x - z = -4 \end{cases} r′:x−32=y−4−1=z+52r': \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z + 5}{2}
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Considere las funciones f(x)=ex+1f(x) = e^{x+1} y g(x)=e−x+5g(x) = e^{-x+5}.
a)0,5 pts
Determine los posibles puntos de corte de esas dos funciones.
b)2 pts
Calcule el área encerrada entre esas dos funciones y las rectas x=1x = 1 y x=3x = 3.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Calcule el límite: lim⁡x→+∞(x+6x+2)3x\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{x + 6}{x + 2}\right)^{3x}
b)1,5 pts
Calcule la integral ∫0π/2esen⁡(x)sen⁡(x)cos⁡(x) dx\int_{0}^{\pi / 2} e^{\sen(x)} \sen(x) \cos(x) \, dx usando el cambio de variable sen⁡(x)=t\sen(x) = t.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Se dispone de una cartulina cuadrada como la del dibujo, cuyo lado mide 50 cm50\,\text{cm}. En cada una de las esquinas se corta un cuadrado de lado xx con el fin de poder doblar la cartulina y formar una caja, sin tapa. ¿Cuál debe ser el lado xx del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea máximo?
Esquema de una cartulina cuadrada de 50 cm de lado con recortes cuadrados de lado x en las esquinas para formar una caja.
Esquema de una cartulina cuadrada de 50 cm de lado con recortes cuadrados de lado x en las esquinas para formar una caja.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Sea la función f(x)=1x2−x−6f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 6}
a)0,5 pts
Determine el dominio de f(x)f(x).
b)0,5 pts
Estudie si la función f(x)f(x) es continua. Si no lo es, determine los puntos de discontinuidad.
c)1,5 pts
Determine los posibles máximos y mínimos, así como las asíntotas de f(x)f(x).
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