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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2018

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que permitan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Considere la función polinómica f(x)=x3−ax2+bx+cf(x) = x^3 - ax^2 + bx + c.
a
Calcule los valores de los parámetros aa, bb y cc, sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=1x = 1 y que la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=0x = 0 es la recta y=x+3y = x + 3.1 pt
b
Para los valores a=2a = 2, b=1b = 1 y c=3c = 3, calcule las abscisas de los extremos relativos de la función y clasifíquelos.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real aa:{x+y+z=3x+y−z=12x+ay=2a\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + y - z = 1 \\ 2x + ay = 2a \end{cases}
a
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro aa.1 pt
b
Resuelva el sistema para el caso a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Considere el plano que tiene como vectores directores u⃗=(−1,3,2)\vec{u} = (-1, 3, 2) y v⃗=(2,1,0)\vec{v} = (2, 1, 0) y que pasa por el punto A=(1,0,3)A = (1, 0, 3).
Datos
  • Puede calcular la distancia de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
a
Calcule la ecuación de la recta que es perpendicular al plano y pasa por el punto AA.1 pt
b
Calcule la distancia del punto P=(1,5,0)P = (1, 5, 0) al plano.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sea la matriz A=(10αα0−12−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ \alpha & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}, en la que α\alpha es un parámetro real.
a
¿Hay algún valor de α∈R\alpha \in \mathbb{R} tal que AA no tenga inversa para este valor?1 pt
b
Calcule la matriz inversa de A2A^2 para α=0\alpha = 0.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Considere los puntos del espacio tridimensional A=(1,1,0)A = (1, 1, 0), B=(3,5,0)B = (3, 5, 0) y C=(1,0,0)C = (1, 0, 0) y la recta r:x=y−1=z2r: x = y - 1 = \frac{z}{2}.
Datos
  • El volumen de un tetraedro de vértices P,Q,RP, Q, R y SS se puede calcular con la expresión 16∣det⁡(PQ⃗,PR⃗,PS⃗)∣\frac{1}{6} |\det(\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS})|
a
Encuentre el punto de intersección de la recta rr con el plano que pasa por los puntos AA, BB y CC.1 pt
b
Encuentre los puntos PP de la recta rr para los cuales el tetraedro de vértices P,A,BP, A, B y CC tiene un volumen de 2 u32\,\text{u}^3.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Sean las funciones f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 y g(x)=3−x2g(x) = 3 - x^2.
a
Haga un esbozo de las gráficas de las parábolas y=f(x)y = f(x) y y=g(x)y = g(x) en un mismo sistema de ejes cartesianos y encuentre los puntos de corte con el eje de las abscisas, los vértices y los puntos de corte entre las dos gráficas.1 pt
b
Calcule el área de la región del semiplano y≥0y \geq 0 comprendida entre las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x).1 pt
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