Matemáticas II · Cataluña 2018

Calcule los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$, sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 1$ y que la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 0$ es la recta $y = x + 3$.

Para los valores $a = 2$, $b = 1$ y $c = 3$, calcule las abscisas de los extremos relativos de la función y clasifíquelos.

Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $a$.

Resuelva el sistema para el caso $a = 1$.

Calcule la ecuación de la recta que es perpendicular al plano y pasa por el punto $A$.

Calcule la distancia del punto $P = (1, 5, 0)$ al plano.

¿Hay algún valor de $\alpha \in \mathbb{R}$ tal que $A$ no tenga inversa para este valor?

Calcule la matriz inversa de $A^2$ para $\alpha = 0$.

Encuentre el punto de intersección de la recta $r$ con el plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$.

Encuentre los puntos $P$ de la recta $r$ para los cuales el tetraedro de vértices $P, A, B$ y $C$ tiene un volumen de $2\,\text{u}^3$.

Haga un esbozo de las gráficas de las parábolas $y = f(x)$ y $y = g(x)$ en un mismo sistema de ejes cartesianos y encuentre los puntos de corte con el eje de las abscisas, los vértices y los puntos de corte entre las dos gráficas.

Calcule el área de la región del semiplano $y \geq 0$ comprendida entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$.