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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2016

14 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contesta sólo una de las dos opciones propuestas (OPCIÓN A/OPCIÓN B).

Ejercicio 1 · A · Parte A1

1Opción A
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

¿Para qué valor o valores del parámetro mm el sistema de ecuaciones lineales{−2x+y=1(m−1)x+(m+2)y=2\begin{cases} -2x + y = 1 \\ (m - 1)x + (m + 2)y = 2 \end{cases}es incompatible? Resolver el sistema para m=0m = 0.
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Ejercicio 1 · A · Parte A2

1Opción A
3 puntos
Parte A2
La región factible asociada a las restricciones impuestas para maximizar la función f(x,y)=5x−y+5f(x, y) = 5x - y + 5 aparece representada en la figura siguiente.
Región factible sombreada en el primer cuadrante delimitada por los puntos (1,2), (3,1), (5,1), (5,4) y (1,4).
a
Usando la figura, determinar el conjunto de restricciones del problema.1 pt
b
Obtener el máximo de la función f(x,y)f(x, y) en la región factible.1 pt
c
Si añadimos la restricción x≤y+3x \leq y + 3, ¿cuál es el máximo de f(x,y)f(x, y) en este caso?1 pt
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Ejercicio 1 · B · Parte B1

1Opción B
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

¿Para qué valor o valores del parámetro mm el sistema de ecuaciones lineales{−2x+y=1(m−1)x+(m+2)y=2\begin{cases} -2x + y = 1 \\ (m - 1)x + (m + 2)y = 2 \end{cases}es incompatible? Resolver el sistema para m=0m = 0.
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Ejercicio 1 · B · Parte B2

1Opción B
3 puntos
Parte B2
Una agencia de viajes ofrece tres tipos de paquetes a un mismo destino: PA, PB y PC. Los precios (en centenares de euros) son: 2020 para el paquete PA, 1818 para el paquete PB y 1616 para el paquete PC. El número total de paquetes contratados durante este mes ha sido 2222 y los ingresos obtenidos por la venta de esos paquetes ha sido de 386386 (en centenares de euros). Si el número de paquetes contratados de tipo PC es el doble que el de PA, se pide:
a
Plantear el sistema de ecuaciones que determina el número de paquetes de cada tipo contratados.1 pt
b
Resolver el sistema de ecuaciones planteado en el apartado anterior.1 pt
c
Si el coste para la agencia de viajes de los paquetes PA es de 1515, de los PB es de 1414 y de los PC es de 1313 (siempre en centenares de euros), ¿cuál ha sido el beneficio de la agencia derivado de la venta de estos paquetes durante este mes? (Nota: Para calcular los beneficios debes aplicar que Beneficios = Ingresos - Costes.)1 pt
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Ejercicio 2 · A · Parte A1

2Opción A
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Sean A=(1−2−13)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} y B=(x12x)B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & x \end{pmatrix}
a
Calcular, para cualquier xx, la matriz C=A−1⋅BC = A^{-1} \cdot B.0,75 pts
b
¿Existe algún valor de xx para el que la matriz CC es igual a su traspuesta?0,25 pts
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Ejercicio 2 · A · Parte A2

2Opción A
3 puntos
Parte A2
Sea la función f(x)=ax2(x−1)(x−2)f(x) = \frac{ax^2}{(x - 1)(x - 2)}, donde aa es un cierto parámetro real.
a
¿Cuál es el valor de aa si sabemos que la recta y=4y = 4 es una asíntota horizontal para la función dada? Justificar la respuesta.0,75 pts
b
Para a=1a = 1, estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y determinar sus extremos relativos.1,25 pts
c
Para a=1a = 1, calcular lim⁡x→1(f(x)−11−x)\lim_{x \to 1} \left( f(x) - \frac{1}{1 - x} \right).1 pt
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Ejercicio 2 · B · Parte B1

2Opción B
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Sean A=(1−2−13)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} y B=(x12x)B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & x \end{pmatrix}
a
Calcular, para cualquier xx, la matriz C=A−1⋅BC = A^{-1} \cdot B.0,75 pts
b
¿Existe algún valor de xx para el que la matriz CC es igual a su traspuesta?0,25 pts
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Ejercicio 2 · B · Parte B2

2Opción B
3 puntos
Parte B2
En un estudio sobre hábitos de apareamiento entre ratones, se introducen en una jaula cinco ratones macho y tres ratones hembra. Se extrae uno de ellos aleatoriamente y se colocan en la jaula otros dos ratones del mismo sexo que el eliminado. Hecho esto, se elimina, también al azar, otro de los ratones.
a
Calcula la probabilidad de que el segundo ratón eliminado sea hembra.1 pt
b
Calcula la probabilidad de que en ambas eliminaciones se hayan extraído dos ratones del mismo sexo.1 pt
c
Si el segundo ratón eliminado ha sido una hembra, calcula la probabilidad de que el primero también lo haya sido.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Seaf(x)={4x−x2,x≤332(−x+5),x>3f(x) = \begin{cases} 4x - x^2, & x \leq 3 \\ \frac{3}{2}(-x + 5), & x > 3 \end{cases}Calcular el área limitada por la función f(x)f(x) y el eje OXOX. El área solicitada aparece sombreada en la figura siguiente.
Gráfica de la función f(x) con el área bajo la curva sombreada entre x=0 y x=5.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Seaf(x)={4x−x2,x≤332(−x+5),x>3f(x) = \begin{cases} 4x - x^2, & x \leq 3 \\ \frac{3}{2}(-x + 5), & x > 3 \end{cases}Calcular el área limitada por la función f(x)f(x) y el eje OXOX. El área solicitada aparece sombreada en la figura siguiente.
Gráfica de la función f(x) con el área bajo la curva sombreada entre x=0 y x=5.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Se sabe que en las bodegas de vino de Rioja el número de días necesarios para el proceso de fermentación de la uva en la elaboración de vinos tintos sigue una distribución normal de media 1717 días con una desviación típica de 77 días. Con una muestra de 2525 bodegas, calcular la probabilidad de que el proceso de fermentación tenga una duración media de entre 1515 y 1818 días.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Se sabe que en las bodegas de vino de Rioja el número de días necesarios para el proceso de fermentación de la uva en la elaboración de vinos tintos sigue una distribución normal de media 1717 días con una desviación típica de 77 días. Con una muestra de 2525 bodegas, calcular la probabilidad de que el proceso de fermentación tenga una duración media de entre 1515 y 1818 días.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte A1.

Se dispone de un dado equilibrado de seis caras, que se lanza seis veces con independencia. Calcular la probabilidad de sacar al menos un seis en los seis lanzamientos.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco preguntas de la Parte B1.

Se dispone de un dado equilibrado de seis caras, que se lanza seis veces con independencia. Calcular la probabilidad de sacar al menos un seis en los seis lanzamientos.
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