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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la matrizA=(2a−2a2−1a−121a)A = \begin{pmatrix} 2a & -2 & a^2 \\ -1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \end{pmatrix}
a
Calcular el rango de AA en función de los valores de aa.1 pt
b
En el caso a=2a = 2, discutir el sistema A(xyz)=(21b)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} en función de los valores de bb, y resolverlo cuando sea posible.1 pt
c
En el caso a=1a = 1, resolver el sistema A(xyz)=(−122)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectasr1≡x=y=z,r2≡{y=0z=0,r3≡{x=0z=0r_1 \equiv x = y = z, \qquad r_2 \equiv \begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}, \qquad r_3 \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases}con el plano π≡2x+3y+7z=24\pi \equiv 2x + 3y + 7z = 24.1,5 pts
b
Hallar la recta ss que corta perpendicularmente a las rectasr4≡x+11=y−52=z+1−2,r5≡x2=y+13=z−1−1.r_4 \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z + 1}{-2}, \qquad r_5 \equiv \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{-1}.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Calcular la integral ∫13x4+5x2 dx\int_{1}^{3} x \sqrt{4 + 5x^2} \, dx.1 pt
b
Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función f(x)=12−3x2f(x) = \sqrt{12 - 3x^2}1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcular el siguiente límite:lim⁡x→+∞xx+x.\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}}}.1 pt
b
Demostrar que la ecuación 4x5+3x+m=04x^5 + 3x + m = 0 sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número mm. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan.1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la funciónf(x)=ax4+1x3f(x) = \frac{ax^4 + 1}{x^3}se pide:
a
Determinar el valor de aa para el que la función posee un mínimo relativo en x=1x = 1. Para ese valor de aa, obtener los otros puntos en que ff tiene un extremo relativo.1 pt
b
Obtener las asíntotas de la gráfica de y=f(x)y = f(x) para a=1a = 1.1 pt
c
Esbozar la gráfica de la función para a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a) (2 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones AX=BAX = B, dondeA=(01m−10m−11m−200),X=(xyz),B=(mmm+2),A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & m - 1 \\ 0 & m - 1 & 1 \\ m - 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} m \\ m \\ m + 2 \end{pmatrix},según los valores de mm. b) (1 punto) Resolver el sistema en los casos m=0m = 0 y m=1m = 1.
a
Discutir el sistema de ecuaciones AX=BAX = B según los valores de mm.2 pts
b
Resolver el sistema en los casos m=0m = 0 y m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dados los planosπ1≡2x+y−2z=1,π2≡x−y+2z=1,\pi_1 \equiv 2x + y - 2z = 1, \quad \pi_2 \equiv x - y + 2z = 1,se pide:
a
Estudiar su posición relativa.0,5 pts
b
En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Hallar la ecuación del plano π1\pi_1 que pasa por los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,2,0)B(0, 2, 0) y C(0,0,1)C(0, 0, 1).0,75 pts
b
Hallar la ecuación del plano π2\pi_2 que contiene al punto P(1,2,3)P(1, 2, 3) y es perpendicular al vector v⃗(−2,1,1)\vec{v}(-2, 1, 1).0,75 pts
c
Hallar el volumen del tetraedro de vértices A,B,CA, B, C y PP.0,5 pts
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