Matemáticas II · Madrid 2011

Calcular el rango de $A$ en función de los valores de $a$.

En el caso $a = 2$, discutir el sistema $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ b \end{pmatrix}$ en función de los valores de $b$, y resolverlo cuando sea posible.

En el caso $a = 1$, resolver el sistema $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Determinar el valor de $a$ para el que la función posee un mínimo relativo en $x = 1$. Para ese valor de $a$, obtener los otros puntos en que $f$ tiene un extremo relativo.

Obtener las asíntotas de la gráfica de $y = f(x)$ para $a = 1$.

Esbozar la gráfica de la función para $a = 1$.

Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas $$r_1 \equiv x = y = z, \qquad r_2 \equiv \begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}, \qquad r_3 \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$ con el plano $\pi \equiv 2x + 3y + 7z = 24$.

Hallar la recta $s$ que corta perpendicularmente a las rectas $$r_4 \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z + 1}{-2}, \qquad r_5 \equiv \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{-1}.$$

Discutir el sistema de ecuaciones $AX = B$ según los valores de $m$.

Resolver el sistema en los casos $m = 0$ y $m = 1$.

Calcular la integral $\int_{1}^{3} x \sqrt{4 + 5x^2} \, dx$.

Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función $f(x) = \sqrt{12 - 3x^2}$

Estudiar su posición relativa.

En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan.

Calcular el siguiente límite: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}}}.$$

Demostrar que la ecuación $4x^5 + 3x + m = 0$ sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número $m$. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan.

Hallar la ecuación del plano $\pi_1$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 1)$.

Hallar la ecuación del plano $\pi_2$ que contiene al punto $P(1, 2, 3)$ y es perpendicular al vector $\vec{v}(-2, 1, 1)$.

Hallar el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $P$.