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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2024

10 ejercicios

Instrucciones

En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar). Justifica los pasos realizados para llegar a la solución obtenida.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la siguiente funciónf(x)={e2x−1xsi x≠0asi x=0,a∈R. f(x) = \begin{cases} \frac{e^{2x} - 1}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}, \qquad a \in \mathbb{R}.
a
Estudia su continuidad en R\mathbb{R} según los valores de aa.1 pt
b
Para el valor de a=1a = 1, calcula los puntos de corte de la recta tangente a la curva en x=1x = 1, con los ejes OXOX y OYOY.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Calcula justificadamente el siguiente límitelim⁡x→+∞[x2+5−(x+2)]. \lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ \sqrt{x^2 + 5} - (x + 2) \right].
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Calcula a,ba, b y c∈Rc \in \mathbb{R} tales que la funciónf(x)=ax+bsen⁡(x)cos⁡(x)+c f(x) = ax + b \sen(x) \cos(x) + c sea una primitiva de g(x)=sen⁡2(x)g(x) = \sen^2(x). (Nota: recuerda que sen⁡2(x)+cos⁡2(x)=1 ∀x∈R\sen^2(x) + \cos^2(x) = 1 \, \forall x \in \mathbb{R}.)1,2 pts
b
Sabiendo que sen⁡(2x)=2sen⁡(x)cos⁡(x)\sen(2x) = 2 \sen(x) \cos(x), demuestra quecos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sen⁡2(x). \cos(2x) = \cos^2(x) - \sen^2(x). 0,8 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Demuestra que, entre todos los rectángulos de perímetro PP cm, el de mayor área es el cuadrado.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dadas las siguientes matrices:A=(−21200−1),B=(1001−10),C=AT⋅B+I2, A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = A^T \cdot B + I_2, donde ATA^T es la matriz traspuesta de AA, e I2I_2 es la matriz identidad de orden 2.
a
Calcula C2nC^{2n}, con n∈Nn \in \mathbb{N}.0,8 pts
b
Resuelve la ecuación C⋅X=5(AT⋅B)C \cdot X = 5(A^T \cdot B).1,2 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dada la matriz A=(2−34−46m−62−3m+6)A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ -4 & 6 & m-6 \\ 2 & -3 & m+6 \end{pmatrix}, con m∈Rm \in \mathbb{R} un parámetro.
a
Estudia el rango de la matriz AA en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R}.1,2 pts
b
Resuelve, si es posible, el sistema homogéneo A⋅X=0A \cdot X = \mathbf{0} cuando m=6m = 6.0,8 pts
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Analizamos en un comercio los precios de tres artículos A, B y C. El producto A, es de primera necesidad y tiene un tipo superreducido de IVA del 4%4 \%; el producto B es de alimentación y tiene un tipo reducido de IVA del 10%10 \% y el artículo C es un pequeño electrodoméstico cuyo tipo de IVA es del 21%21 \%. El precio total sin IVA de la compra de 1 artículo A de primera necesidad, 2 productos B de alimentación y 5 pequeños electrodomésticos C es de 483483 €. Mientras que el total de IVA correspondiente a la compra de 100 artículos de primera necesidad A, 10 productos de alimentación B y 100 pequeños electrodomésticos C, es de 19541954 €. Además, se sabe que el precio sin IVA del pequeño electrodoméstico es igual al precio sin IVA de cuatro artículos de primera necesidad más ocho artículos de alimentación. Calcula los precios a la venta de los tres artículos, teniendo en cuenta que el precio a la venta es el precio con IVA incluido.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Dados los puntos P1(−2,1,1)P_1(-2, 1, 1), P2(0,a,−2)P_2(0, a, -2), P3(−1,1,−1)P_3(-1, 1, -1) y P4(1,3,−3)P_4(1, 3, -3), se pide:
a
Calcula los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} para que el tetraedro con vértices P1,P2,P3P_1, P_2, P_3 y P4P_4 tenga volumen 1/31/3.1,2 pts
b
Calcula el valor de a∈Ra \in \mathbb{R} para que los cuatro puntos sean coplanarios.0,8 pts
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Una asignatura de matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad de Zaragoza tiene 99 personas matriculadas (54 alumnas y 45 alumnos). En primera convocatoria aprueban la asignatura 49 personas (28 alumnas y 21 alumnos).
a
¿Cuál es el porcentaje de alumnas que aprueban la asignatura en primera convocatoria?, ¿y de alumnos?1,2 pts
b
Si elegimos aleatoriamente a una persona que haya aprobado la asignatura en primera convocatoria, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?0,8 pts
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Vamos a suponer que durante el año 2023, las llegadas de turistas a nuestro país se realizaron de la siguiente forma: un 55%55 \% llegó en avión, un 30%30 \% llegó en tren, un 10%10 \% llegó en autobús y un 5%5 \% llegó en barco. Además, sabemos que, de todos estos viajeros, visitaron Aragón el 50%50 \% de los que vinieron en avión, el 60%60 \% de los que vinieron en tren, el total de los que viajaron en autobús, y un 20%20 \% de los que vinieron en barco. Con estos datos, se pide:
a
Calcula la probabilidad de que un turista seleccionado al azar entre los que visitaron España en 2023 haya visitado Aragón.1 pt
b
Calcula la probabilidad de que un turista visitante de Aragón haya hecho su viaje a España en autobús o en tren.1 pt
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