Matemáticas II · Aragón 2024

Dada la siguiente función $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{2x} - 1}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}, \qquad a \in \mathbb{R}.$$

Calcula justificadamente el siguiente límite $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ \sqrt{x^2 + 5} - (x + 2) \right].$$

Demuestra que, entre todos los rectángulos de perímetro $P$ cm, el de mayor área es el cuadrado.

Dadas las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = A^T \cdot B + I_2,$$ donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$, e $I_2$ es la matriz identidad de orden 2.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ -4 & 6 & m-6 \\ 2 & -3 & m+6 \end{pmatrix}$, con $m \in \mathbb{R}$ un parámetro.

Analizamos en un comercio los precios de tres artículos A, B y C. El producto A, es de primera necesidad y tiene un tipo superreducido de IVA del $4 \%$; el producto B es de alimentación y tiene un tipo reducido de IVA del $10 \%$ y el artículo C es un pequeño electrodoméstico cuyo tipo de IVA es del $21 \%$. El precio total sin IVA de la compra de 1 artículo A de primera necesidad, 2 productos B de alimentación y 5 pequeños electrodomésticos C es de $483$ €. Mientras que el total de IVA correspondiente a la compra de 100 artículos de primera necesidad A, 10 productos de alimentación B y 100 pequeños electrodomésticos C, es de $1954$ €. Además, se sabe que el precio sin IVA del pequeño electrodoméstico es igual al precio sin IVA de cuatro artículos de primera necesidad más ocho artículos de alimentación. Calcula los precios a la venta de los tres artículos, teniendo en cuenta que el precio a la venta es el precio con IVA incluido.

Dados los puntos $P_1(-2, 1, 1)$, $P_2(0, a, -2)$, $P_3(-1, 1, -1)$ y $P_4(1, 3, -3)$, se pide:

Una asignatura de matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad de Zaragoza tiene 99 personas matriculadas (54 alumnas y 45 alumnos). En primera convocatoria aprueban la asignatura 49 personas (28 alumnas y 21 alumnos).

Vamos a suponer que durante el año 2023, las llegadas de turistas a nuestro país se realizaron de la siguiente forma: un $55 \%$ llegó en avión, un $30 \%$ llegó en tren, un $10 \%$ llegó en autobús y un $5 \%$ llegó en barco. Además, sabemos que, de todos estos viajeros, visitaron Aragón el $50 \%$ de los que vinieron en avión, el $60 \%$ de los que vinieron en tren, el total de los que viajaron en autobús, y un $20 \%$ de los que vinieron en barco. Con estos datos, se pide: