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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2025

7 ejercicios

Instrucciones

El examen consta de cuatro apartados: un apartado con un problema obligatorio y 3 apartados con la posibilidad de elegir entre dos problemas. Se deberá responder a un máximo de CUATRO PROBLEMAS: el problema obligatorio (apartado 1) y solamente un problema de cada uno de los tres apartados restantes. Cada uno de los problemas se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos.

Ejercicio 1A · Opción A

1AOpción A
2,5 puntos
Apartado 1Obligatorio
**Problema 1.** a) Dado k∈Rk \in \mathbb{R}, se considera el sistema de ecuaciones{kx−y−z=1x+ky+2kz=k\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \end{cases}Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro k∈Rk \in \mathbb{R}, y resolverlo para k=−1k = -1. **(1.5 puntos)** b) Sea AA una matriz cuadrada que verifica A2=I+3AA^2 = I + 3A, donde II denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de AA no es cero y expresar A−1A^{-1} en función de AA y de II. **(1 punto)**
a
Dado k∈Rk \in \mathbb{R}, se considera el sistema de ecuaciones {kx−y−z=1x+ky+2kz=k\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \end{cases}. Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro k∈Rk \in \mathbb{R}, y resolverlo para k=−1k = -1.1,5 pts
b
Sea AA una matriz cuadrada que verifica A2=I+3AA^2 = I + 3A, donde II denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de AA no es cero y expresar A−1A^{-1} en función de AA y de II.1 pt
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Ejercicio 2A · Opción A

2AOpción A
2,5 puntos
Apartado 2
**Problema 2A.** Sea la función f(x)=12x+3x2−2x3f(x) = 12x + 3x^2 - 2x^3. a) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f(x)f(x) y su recta tangente en el punto x=1x = 1. **(1.5 puntos)** b) Calcular lim⁡x→0ln⁡(1+x2)xf(x)\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x^2)}{xf(x)}, donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano. **(1 punto)**
a
Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f(x)f(x) y su recta tangente en el punto x=1x = 1.1,5 pts
b
Calcular lim⁡x→0ln⁡(1+x2)xf(x)\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x^2)}{xf(x)}, donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano.1 pt
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Ejercicio 2B · Opción B

2BOpción B
2,5 puntos
Apartado 2
**Problema 2B.** Se considera la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x}. a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. **(1.5 puntos)** b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función ff y el eje de abscisas en el intervalo [0,2][0,2]. **(1 punto)**
a
Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.1,5 pts
b
Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función ff y el eje de abscisas en el intervalo [0,2][0,2].1 pt
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Ejercicio 3A · Opción A

3AOpción A
2,5 puntos
Apartado 3
**Problema 3A.** *(Propuesto por la Comunidad Valenciana, julio 2023)* Sean el plano π≡5x+my+z=2\pi \equiv 5x + my + z = 2 y la recta r≡(x,y,z)=(1,1,0)+t(−1,−1,2)r \equiv (x,y,z) = (1,1,0) + t(-1,-1,2), t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinar la posición relativa de rr y π\pi en función de mm. **(1.5 puntos)** b) Para m=1m = 1 calcular el plano π′\pi' que contiene a rr y es perpendicular a π\pi. **(1 punto)**
a
Determinar la posición relativa de rr y π\pi en función de mm.1,5 pts
b
Para m=1m = 1 calcular el plano π′\pi' que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.1 pt
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Ejercicio 3B · Opción B

3BOpción B
2,5 puntos
Apartado 3
**Problema 3B.** Sean el plano π≡x+y−z=2\pi \equiv x + y - z = 2 y la recta r≡x−1−3=y2=z−2−1r \equiv \dfrac{x-1}{-3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z-2}{-1}. a) Calcular la ecuación de un plano π′\pi' paralelo al plano π\pi y que esté a una distancia de 232\sqrt{3} unidades de la recta rr. ¿Es único ese plano? Justifica la respuesta. **(1.5 puntos)** b) Calcular la ecuación de un plano π′′\pi'' perpendicular al plano π\pi y que pasa por los puntos P(1,0,1)P(1,0,1) y Q(0,1,0)Q(0,1,0). **(1 punto)**
a
Calcular la ecuación de un plano π′\pi' paralelo al plano π\pi y que esté a una distancia de 232\sqrt{3} unidades de la recta rr. ¿Es único ese plano? Justifica la respuesta.1,5 pts
b
Calcular la ecuación de un plano π′′\pi'' perpendicular al plano π\pi y que pasa por los puntos P(1,0,1)P(1,0,1) y Q(0,1,0)Q(0,1,0).1 pt
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Ejercicio 4A · Opción A

4AOpción A
2,5 puntos
Apartado 4
**Problema 4A.** El tamaño de las truchas que hay en el río Tormes, entre el pantano de Santa Teresa y su paso por Fresno Alhándiga, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 28 cm y desviación típica de 6 cm. a) Calcular el porcentaje de truchas cuyo tamaño está entre 19 cm y 40 cm. **(1.5 puntos)** b) Sabiendo que una de las truchas capturadas medía más de 38 cm, ¿cuál es la probabilidad de que midiera más de 42 cm? **(1 punto)**
a
Calcular el porcentaje de truchas cuyo tamaño está entre 19 cm y 40 cm.1,5 pts
b
Sabiendo que una de las truchas capturadas medía más de 38 cm, ¿cuál es la probabilidad de que midiera más de 42 cm?1 pt
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Ejercicio 4B · Opción B

4BOpción B
2,5 puntos
Apartado 4
**Problema 4B.** Un grupo de WhatsApp, formado por los alumnos de un gimnasio de judo, está compuesto por un 55% de mujeres y el resto hombres. Se sabe que el 15% del grupo es cinturón verde y que una quinta parte de las mujeres es cinturón verde. a) ¿Qué porcentaje de hombres son cinturón verde? **(1 punto)** b) Si el grupo recibe un mensaje enviado por un cinturón verde, calcular la probabilidad de que lo haya enviado una mujer. **(0.75 puntos)** c) Si el mensaje no tiene información sobre el sexo y el color del cinturón del remitente, calcular la probabilidad de que sea hombre y cinturón verde. **(0.75 puntos)**
a
¿Qué porcentaje de hombres son cinturón verde?1 pt
b
Si el grupo recibe un mensaje enviado por un cinturón verde, calcular la probabilidad de que lo haya enviado una mujer.0,75 pts
c
Si el mensaje no tiene información sobre el sexo y el color del cinturón del remitente, calcular la probabilidad de que sea hombre y cinturón verde.0,75 pts
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