Matemáticas CCSS · La Rioja 2023

Para que no se desanimen los equipos de menos nivel, los organizadores de un torneo escolar de fútbol adjudican en cada partido un número positivo de puntos a los dos equipos. Lo hacen de forma que: · 5 empates equivalen a 2 victorias más 2 derrotas; · 1 victoria equivale a 3 derrotas más 1 punto; · 1 derrota más 5 puntos equivalen a 1 victoria más 1 empate. ¿Cuántos puntos se adjudican por victoria, empate y derrota?

La futura compañía Rioja-Rail seguirá una estricta política de compromiso de puntualidad: si el retraso de un tren de cercanías es igual a un tiempo $t$ (en minutos), y el importe pagado por el trayecto es $L$ (en cualquier criptomoneda) se reintegrará en la cuenta de usuario una cantidad dada por $$r(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } t < 10, \\ at + b & \text{si } 10 < t < 20, \\ L/2 & \text{si } t = 20, \\ ct + d & \text{si } 20 < t < 60, \\ L & \text{si } t \geq 60. \end{cases}$$

Basándose en encuestas, se considera, para la gente de La Rioja, que los sucesos: $A = \text{“le gusta pasar sus vacaciones en la playa”}$; $B = \text{“le gusta pasar sus vacaciones en la montaña”}$; y $C = \text{“no le gustan ni la playa ni la montaña para sus vacaciones”}$ tienen probabilidades $$P(A) = 0{,}75, \quad P(B) = 0{,}5, \quad \text{y} \quad P(C) = 0{,}1.$$ Se entiende que "le gusta" y "no le gusta" son en cada caso complementarios: cualquier persona respondería o bien sí o bien no a las preguntas de si le gustan playa o montaña.

Una de las dos matrices siguientes tiene matriz inversa. Calcúlala: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

En la figura, $x$ es un valor tal que $6 \leq x \leq 19$, y algunos segmentos miden lo que se indica. El área de la figura (el polígono de seis lados, uno de ellos el inferior) viene dada por $$A(x) = 18 + 22x - x^2.$$

Una variable aleatoria $X$ tiene distribución normal de media $10$ y desviación típica $4$. Tomaremos una muestra de cierto número $n$ de valores independientes de $X$, y llamaremos $\overline{X}$ a su valor promedio. El valor $n$ cumple que $$P(X < 15) = P(\overline{X} < 11).$$

Dibuja la región del plano formada por los puntos $(x, y)$ tales que $$\begin{cases} 0 \leq y, 0 \leq x, \\ x + y \leq 4, \\ x + 2y \leq 6, \text{ y} \\ x \leq 3. \end{cases}$$

La recta $y = 5 - 2x$ delimita un triángulo rectángulo con los ejes de coordenadas.

Nuestra casa está en la ladera de un monte, justo donde comienza el bosque de pinos. Un día medimos el que tenemos más cerca, y resultó tener una altura de $17{,}26$ metros. Le preguntamos a nuestro amigo guardabosque si es un valor representativo, y nos dijo: “Qué casualidad, hemos calculado un intervalo al $90\%$ de confianza para la media de la altura, y el extremo superior es $17{,}26$ m. Hemos supuesto que la altura tiene distribución normal y que la desviación típica es $6{,}93$, la habitual en estas repoblaciones, y hemos medido $100$ árboles para calcularlo”. ¿Cuál fue el promedio de la altura de los pinos de la muestra, y qué intervalo de confianza se obtuvo por tanto?