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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2023

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen está distribuido en tres bloques, cada uno con 3 ejercicios. En total se debe contestar a 4 ejercicios, de dos maneras posibles: o bien se eligen dos bloques y se contesta a 2 de cada uno de ellos, o bien se contesta a 2 de un bloque y a 1 de cada bloque restante. Para evitar confusiones, se recomienda consignar claramente en la primera página de las hojas de respuestas a qué cuatro ejercicios se responde en el examen. Todos los ejercicios valen 2,5 puntos, y en la mayoría de ellos dicha puntuación se desglosa con más detalle. Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean ni programables ni gráficas, y que no calculen integrales. El tiempo disponible para responder a las preguntas es de una hora y media.

Ejercicio 1 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.

1Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Para que no se desanimen los equipos de menos nivel, los organizadores de un torneo escolar de fútbol adjudican en cada partido un número positivo de puntos a los dos equipos. Lo hacen de forma que: · 5 empates equivalen a 2 victorias más 2 derrotas; · 1 victoria equivale a 3 derrotas más 1 punto; · 1 derrota más 5 puntos equivalen a 1 victoria más 1 empate. ¿Cuántos puntos se adjudican por victoria, empate y derrota?
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Ejercicio 1 · Bloque 2. Análisis.

1Bloque 2. Análisis.
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
La futura compañía Rioja-Rail seguirá una estricta política de compromiso de puntualidad: si el retraso de un tren de cercanías es igual a un tiempo tt (en minutos), y el importe pagado por el trayecto es LL (en cualquier criptomoneda) se reintegrará en la cuenta de usuario una cantidad dada porr(t)={0si t<10,at+bsi 10<t<20,L/2si t=20,ct+dsi 20<t<60,Lsi t≥60. r(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } t < 10, \\ at + b & \text{si } 10 < t < 20, \\ L/2 & \text{si } t = 20, \\ ct + d & \text{si } 20 < t < 60, \\ L & \text{si } t \geq 60. \end{cases}
a
Sabiendo que rr es una función continua, dibuja su gráfica y averigua los valores de aa, bb, cc y dd.2,5 pts
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Ejercicio 1 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad.

1Bloque 3. Estadística y Probabilidad.
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Basándose en encuestas, se considera, para la gente de La Rioja, que los sucesos: A=“le gusta pasar sus vacaciones en la playa”A = \text{“le gusta pasar sus vacaciones en la playa”}; B=“le gusta pasar sus vacaciones en la montan˜a”B = \text{“le gusta pasar sus vacaciones en la montaña”}; y C=“no le gustan ni la playa ni la montan˜a para sus vacaciones”C = \text{“no le gustan ni la playa ni la montaña para sus vacaciones”} tienen probabilidadesP(A)=0,75,P(B)=0,5,yP(C)=0,1. P(A) = 0{,}75, \quad P(B) = 0{,}5, \quad \text{y} \quad P(C) = 0{,}1. Se entiende que "le gusta" y "no le gusta" son en cada caso complementarios: cualquier persona respondería o bien sí o bien no a las preguntas de si le gustan playa o montaña.
i
¿Cuánto valen P(A∪B)P(A \cup B) y P(A∩B)P(A \cap B)?
ii
¿Son AA y BB sucesos independientes?
iii
¿Cuál es la probabilidad de que a una persona le guste la montaña si sabemos que para ella no sucede CC?
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Ejercicio 2 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.

2Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Una de las dos matrices siguientes tiene matriz inversa. Calcúlala:A=(110101011),B=(110101211). A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calcúlala.2 pts
b
¿Cuál es la inversa de dicha matriz inversa? ¿Por qué sabes que la otra matriz no tiene inversa?0,5 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 2. Análisis.

2Bloque 2. Análisis.
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
En la figura, xx es un valor tal que 6≤x≤196 \leq x \leq 19, y algunos segmentos miden lo que se indica. El área de la figura (el polígono de seis lados, uno de ellos el inferior) viene dada porA(x)=18+22x−x2. A(x) = 18 + 22x - x^2.
Polígono irregular con dimensiones marcadas: base superior x, lado derecho superior 19-x, lado derecho inferior 6, y base inferior con un segmento de longitud 6.
a
¿Para qué valor de xx dicha área es máxima? ¿Para cuál es mínima? Dibuja la figura cuando xx es el valor de área mínima.2,5 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad.

2Bloque 3. Estadística y Probabilidad.
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Una variable aleatoria XX tiene distribución normal de media 1010 y desviación típica 44. Tomaremos una muestra de cierto número nn de valores independientes de XX, y llamaremos X‾\overline{X} a su valor promedio. El valor nn cumple queP(X<15)=P(X‾<11). P(X < 15) = P(\overline{X} < 11).
i
¿Cuánto vale dicha probabilidad?1 pt
ii
¿Qué número es nn?1,25 pts
iii
¿Hay algún valor aa para el que P(X‾<a)P(\overline{X} < a) no dependa de nn?0,25 pts
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Ejercicio 3 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.

3Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Dibuja la región del plano formada por los puntos (x,y)(x, y) tales que{0≤y,0≤x,x+y≤4,x+2y≤6, yx≤3. \begin{cases} 0 \leq y, 0 \leq x, \\ x + y \leq 4, \\ x + 2y \leq 6, \text{ y} \\ x \leq 3. \end{cases}
a
Dibuja la región del plano.1 pt
b
Estudia respectivamente en qué puntos de dicha región toman su valor máximo las siguientes funciones:1,5 pts
b.1
x+12yx + \frac{1}{2}y
b.2
x+32yx + \frac{3}{2}y
b.3
x+3yx + 3y
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Ejercicio 3 · Bloque 2. Análisis.

3Bloque 2. Análisis.
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
La recta y=5−2xy = 5 - 2x delimita un triángulo rectángulo con los ejes de coordenadas.
a
Calcula sus vértices.0,5 pts
b
La parábola y=x2+2xy = x^2 + 2x divide al triángulo anterior en dos regiones. Dibújalas señalando los puntos de corte, y halla el área de ambas.2 pts
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Ejercicio 3 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad.

3Bloque 3. Estadística y Probabilidad.
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Nuestra casa está en la ladera de un monte, justo donde comienza el bosque de pinos. Un día medimos el que tenemos más cerca, y resultó tener una altura de 17,2617{,}26 metros. Le preguntamos a nuestro amigo guardabosque si es un valor representativo, y nos dijo: “Qué casualidad, hemos calculado un intervalo al 90%90\% de confianza para la media de la altura, y el extremo superior es 17,2617{,}26 m. Hemos supuesto que la altura tiene distribución normal y que la desviación típica es 6,936{,}93, la habitual en estas repoblaciones, y hemos medido 100100 árboles para calcularlo”. ¿Cuál fue el promedio de la altura de los pinos de la muestra, y qué intervalo de confianza se obtuvo por tanto?
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