Matemáticas CCSS · Galicia 2007

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a & b & c \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -3 \\ -2 & -5 & -3 \\ 3 & 6 & 2 \end{pmatrix}$$ Calcular los valores de $a$, $b$ y $c$ para que se verifique la ecuación matricial $A \cdot B^t = C$, donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de la matriz $B$.

Se estudia la evolución mensual del número de socios de una entidad durante el año 2005 y se observa que está modelada por la siguiente función: $$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x + a & \text{si } 0 \leq x \leq 6 \\ 50 & \text{si } 6 < x \leq 8 \\ 50 + (x - 8)(x - 12) & \text{si } 8 < x \leq 12 \end{cases}$$ donde $x$ es el tiempo en meses.

En una ciudad en la que hay doble número de hombres que de mujeres se declara una epidemia. Un 4% de los habitantes son hombres y están enfermos, mientras que un 3% son mujeres y están enfermas. Elegido al azar un habitante de la ciudad, calcular:

Mario's Pizza es un productor de pizzas congeladas de dos tipos A y B. Obtiene un beneficio de $1$ euro por cada pizza A que produzca y de $1{,}50$ euros por cada pizza de tipo B. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de mezcla de relleno, según se indica en el siguiente cuadro: En un día cualquiera, se dispone de un máximo de $75$ kg de pasta de harina y de $25$ kg de mezcla de relleno y con base a la demanda en el pasado, Mario's debe vender diariamente al menos $50$ pizzas tipo A y al menos $25$ pizzas tipo B.

Un estudio indica que, entre las 12:00 horas y las 19:00 horas de un día laborable típico, la velocidad (en Km/h) del tráfico en cierta salida de autopista viene dada por la siguiente función $$f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 60x + 20, \quad 0 \leq x \leq 7$$ donde $x$ es el número de horas después del mediodía ($x = 0$ corresponde a las 12:00 horas).

El gasto mensual (en euros) en electricidad por familia, para las familias de cierta ciudad, sigue una distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma = 25$ euros.