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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la funciónf(x)={3x+A,si x≤3,−4+10x−x2,si x>3,f(x) = \begin{cases} 3x + A, & \text{si } x \leq 3, \\ -4 + 10x - x^2, & \text{si } x > 3, \end{cases}se pide:
a
Hallar el valor de AA para que f(x)f(x) sea continua. ¿Es derivable para ese valor de AA?1 pt
b
Hallar los puntos en los que f′(x)=0f'(x) = 0.1 pt
c
Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f(x)f(x) en el intervalo [4,8][4, 8].1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales{3x+ay+4z=6,x+(a+1)y+z=3,(a−1)x−ay−3z=−3,\begin{cases} 3x + ay + 4z = 6, \\ x + (a + 1)y + z = 3, \\ (a - 1)x - ay - 3z = -3, \end{cases}se pide:
a
Discutir el sistema según los valores de aa.2 pts
b
Resolverlo para a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se dan la recta rr y el plano π\pi, medianter≡x−42=y−1−1=z−23,π≡2x+y−2z−7=0.r \equiv \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{3}, \qquad \pi \equiv 2x + y - 2z - 7 = 0.Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dadas las rectasr≡x−12=y−22=z−2,s≡{x+y=4,2x+z=4,r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{-2}, \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 4, \\ 2x + z = 4, \end{cases}se pide:
a
Hallar la ecuación del plano que pasa por A(2,3,4)A(2, 3, 4) y es paralelo a las rectas rr y ss.1,5 pts
b
Determinar la ecuación de la recta que pasa por B(4,1,2)B(4, 1, 2) y es perpendicular al plano hallado anteriormente.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dado el punto P(2,1,−1)P(2, 1, -1), se pide:
a
Hallar el punto P′P' simétrico de PP respecto del punto Q(3,0,2)Q(3, 0, 2).0,5 pts
b
Hallar el punto P′′P'' simétrico de PP respecto de la recta r≡x−1=y−1=zr \equiv x - 1 = y - 1 = z.1,25 pts
c
Hallar el punto P′′′P''' simétrico de PP respecto del plano π≡x+y+z=3\pi \equiv x + y + z = 3.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la función f(x)=x2sen⁡xf(x) = x^2 \sen x, se pide:
a
Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación f(x)=0f(x) = 0 tiene alguna solución en el intervalo abierto (π/2,π)(\pi / 2, \pi).1 pt
b
Calcular la integral de ff en el intervalo [0,π][0, \pi].1 pt
c
Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de y=f(x)y = f(x) en el punto (π,f(π))(\pi, f(\pi)). Recuérdese que la recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sean a⃗,b⃗,c⃗,d⃗∈R3\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} \in \mathbb{R}^3, vectores columna. Sidet⁡(a⃗,b⃗,d⃗)=−1,det⁡(a⃗,c⃗,d⃗)=3,det⁡(b⃗,c⃗,d⃗)=−2,\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}) = -1, \qquad \det(\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}) = 3, \qquad \det(\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}) = -2,calcular razonadamente el determinante de las siguientes matrices:
a
det(a⃗,3d⃗,b⃗)(\vec{a}, 3\vec{d}, \vec{b}).0,5 pts
b
det(a⃗−b⃗,c⃗,−d⃗)(\vec{a} - \vec{b}, \vec{c}, -\vec{d}).0,75 pts
c
det(d⃗+3b⃗,2a⃗,b⃗−3a⃗+d⃗)(\vec{d} + 3\vec{b}, 2\vec{a}, \vec{b} - 3\vec{a} + \vec{d}).0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales:{x−2z=2,ax−y+z=−8,2x+az=4,\begin{cases} x - 2z = 2, \\ ax - y + z = -8, \\ 2x + az = 4, \end{cases}se pide:
a
Discutir el sistema según los valores de aa.1,5 pts
b
Resolverlo para a=−5a = -5.0,5 pts
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