Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2016

6 ejercicios

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean la recta r:(x,y,z)=(5+k,k,−2−2k)r: (x, y, z) = (5 + k, k, -2 - 2k) y los puntos P=(1,0,−1)P = (1, 0, -1) y Q=(2,1,1)Q = (2, 1, 1).
a)1 pts
Calcule la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto QQ y es perpendicular al plano determinado por la recta rr y el punto PP.
b)1 pts
Calcule el punto de la recta rr que equidista de los puntos PP y QQ.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Tres números, xx, yy y zz, cumplen dos condiciones: que el primero es la suma de los otros dos, y que el segundo es la suma de la mitad del primero y el doble del tercero.
a)1 pts
Compruebe que el cálculo de los tres números, x,yx, y y zz, tiene una infinidad de soluciones.
b)1 pts
Halle una expresión general de las soluciones.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Queremos hacer un envase de helado con forma de prisma regular de base cuadrada y con una capacidad de 80 cm380\,\text{cm}^3. Para elaborar la tapa y la superficie lateral, utilizaremos un material determinado que cuesta 1 €/cm21\,€/\text{cm}^2, pero para la base tendremos que utilizar un material que es un 50 %50\,\% más caro.
a)1 pts
Si xx es la medida, en cm, del lado de la base, compruebe que la función que determina el precio del envase es P(x)=2,5x2+320xP(x) = 2{,}5x^2 + \frac{320}{x}.
b)1 pts
Calcule las medidas que debe tener el envase para que el precio sea el mínimo posible.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Sea la función f(x)=sen⁡(x)f(x) = \sen(x).
a)1 pts
Calcule la ecuación de las rectas tangentes a la función ff en los puntos de abscisa x=0x = 0 y x=πx = \pi, respectivamente. Halle las coordenadas del punto en que se cortan las dos rectas.
b)1 pts
Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función ff y las rectas tangentes del apartado anterior (en caso de no haber resuelto el apartado anterior, suponga que las rectas son y=xy = x e y=−x+πy = -x + \pi, respectivamente).
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a)1 pts
Halle la única matriz de la forma A=(12ab12)A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & a \\ b & \frac{1}{2} \end{pmatrix} que satisface que A2=AA^2 = A, y compruebe que AA y A−IA - I no son invertibles.
b)1 pts
Justifique razonadamente que si AA es una matriz cuadrada de orden nn diferente de la matriz nula, 00, y de la matriz identidad, II, y satisface la igualdad A2=AA^2 = A, entonces las matrices AA y A−IA - I no son invertibles.
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a)1 pts
Calcule la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano que pasa por el punto de coordenadas (0,0,1)(0, 0, 1) y es perpendicular a los planos 3x+y−z=13x + y - z = 1 y x+y+2z=5x + y + 2z = 5.
b)1 pts
Suponga que un plano π1\pi_1 es perpendicular a un segundo plano π2\pi_2 y que el plano π2\pi_2 es a la vez perpendicular a un tercer plano π3\pi_3. Explique razonadamente si necesariamente los planos π1\pi_1 y π3\pi_3 deben ser perpendiculares entre ellos.
Ver este ejercicio