Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2017

Calcula razonadamente el área de la región determinada por la curva $f(x) = (x - 1)(x + 2)$, las rectas $x = -3$, $x = 2$ y el eje de abscisas. Esboza dicha región.

Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$.

Determina el valor de $k \in \mathbb{R}$ para que la siguiente función sea continua en $x = 0$. $$f(x) = \begin{cases} \left(\frac{x + 1}{2x + 1}\right)^{1/x} & \text{si } x < 0 \\ 6x + k & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Enuncia el teorema de Bolzano y comprueba si la ecuación $\cos x = 2 - x$ tiene alguna solución real en el intervalo $[0, 2\pi]$.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$ $$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$$

Resuélvelo razonadamente para el valor $a = 0$.

Calcula razonadamente $A^{-1}$.

Calcula razonadamente la matriz $X$ que verifica que $A \cdot X + B = C^2$.

Calcula razonadamente el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los puntos de intersección del plano $\alpha$ con los tres ejes coordenados.

Encuentra razonadamente la ecuación general o implícita de la recta paralela a los planos $\alpha$ y $\beta$ que pase por el punto $P(0, -1, 3)$.

Halla razonadamente el valor de $a \in \mathbb{R}$ para el cual el plano $\alpha \equiv x - y - az + 5 = 0$ es paralelo a la recta $$r \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y}{-5} = \frac{z}{2}$$

Calcula razonadamente la distancia del punto $P(1, 2, 3)$ a la recta $r \equiv \frac{x - 3}{2} = y - 1 = z$

En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar componentes electrónicos en placas de circuito impreso. El $25\%$ de los componentes son soldados por el robot A, el $20\%$ por el B y el $55\%$ por el C. Se sabe que la probabilidad de que una placa tenga un defecto de soldadura es de $0{,}03$ si ha sido soldado por el robot A, $0{,}04$ por el robot B y $0{,}02$ por el robot C.

Lanzamos cinco veces una moneda trucada. La probabilidad de obtener cara es $0{,}6$. Calcula razonadamente la probabilidad de:

De una urna que contiene tres bolas blancas y dos bolas rojas extraemos, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. Calcula razonadamente la probabilidad de:

El tiempo de duración de las llamadas telefónicas a cierta centralita se distribuye según una distribución normal de media $5$ minutos y varianza $4$. Calcula razonadamente: