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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2017

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
a) Calcula razonadamente el área de la región determinada por la curva f(x)=(x−1)(x+2)f(x) = (x - 1)(x + 2), las rectas x=−3x = -3, x=2x = 2 y el eje de abscisas. Esboza dicha región. b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=2x = 2.
a
Calcula razonadamente el área de la región determinada por la curva f(x)=(x−1)(x+2)f(x) = (x - 1)(x + 2), las rectas x=−3x = -3, x=2x = 2 y el eje de abscisas. Esboza dicha región.1,5 pts
b
Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Halla razonadamente las dimensiones más económicas de una piscina de 32 m332\,\text{m}^3 con un fondo cuadrado, de manera que la superficie de sus paredes y el suelo necesiten la cantidad mínima de material.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
a
Determina el valor de k∈Rk \in \mathbb{R} para que la siguiente función sea continua en x=0x = 0.f(x)={(x+12x+1)1/xsi x<06x+ksi x≥0f(x) = \begin{cases} \left(\frac{x + 1}{2x + 1}\right)^{1/x} & \text{si } x < 0 \\ 6x + k & \text{si } x \geq 0 \end{cases}1,5 pts
b
Enuncia el teorema de Bolzano y comprueba si la ecuación cos⁡x=2−x\cos x = 2 - x tiene alguna solución real en el intervalo [0,2π][0, 2\pi].1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Calcula razonadamente las siguientes integrales:
Datos
  • ln⁡\ln denota logaritmo neperiano
a
∫x3+2x2+x−10x2+x−2 dx\int \frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2} \, dx1,25 pts
b
∫x2ln⁡x dx\int x^2 \ln x \, dx1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}{ax+y+z=1x+ay+z=0x+y+az=0\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}1,5 pts
b
Resuélvelo razonadamente para el valor a=0a = 0.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dadas matricesA=(011100001),B=(−1010−10110)yC=(110030−101)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcula razonadamente A−1A^{-1}.1 pt
b
Calcula razonadamente la matriz XX que verifica que A⋅X+B=C2A \cdot X + B = C^2.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Dados los planos α≡−x+2y+z+2=0\alpha \equiv -x + 2y + z + 2 = 0 y β≡−2y+z=0\beta \equiv -2y + z = 0
a
Calcula razonadamente el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los puntos de intersección del plano α\alpha con los tres ejes coordenados.1,5 pts
b
Encuentra razonadamente la ecuación general o implícita de la recta paralela a los planos α\alpha y β\beta que pase por el punto P(0,−1,3)P(0, -1, 3).1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a
Halla razonadamente el valor de a∈Ra \in \mathbb{R} para el cual el plano α≡x−y−az+5=0\alpha \equiv x - y - az + 5 = 0 es paralelo a la rectar≡x−23=y−5=z2r \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y}{-5} = \frac{z}{2}1,25 pts
b
Calcula razonadamente la distancia del punto P(1,2,3)P(1, 2, 3) a la recta r≡x−32=y−1=zr \equiv \frac{x - 3}{2} = y - 1 = z1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
a
En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar componentes electrónicos en placas de circuito impreso. El 25%25\% de los componentes son soldados por el robot A, el 20%20\% por el B y el 55%55\% por el C. Se sabe que la probabilidad de que una placa tenga un defecto de soldadura es de 0,030{,}03 si ha sido soldado por el robot A, 0,040{,}04 por el robot B y 0,020{,}02 por el robot C.1,25 pts
a.1
Elegida una placa al azar, calcula razonadamente la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura.0,75 pts
a.2
Se escoge al azar una placa y resulta tener un defecto de soldadura, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido soldada por el robot C.0,5 pts
b
Lanzamos cinco veces una moneda trucada. La probabilidad de obtener cara es 0,60{,}6. Calcula razonadamente la probabilidad de:1,25 pts
np k0,010,050,100,150,200,250,300,330,350,400,450,490,50
500,95100,77380,59050,44370,32770,23730,16810,13170,11600,07780,05030,03450,0313
10,04800,20360,32810,39150,40960,39550,36020,32920,31240,25920,20590,16570,1563
20,00100,02140,07290,13820,20480,26370,30870,32920,33640,34560,33690,31850,3125
30,00000,00110,00810,02440,05120,08790,13230,16460,18110,23040,27570,30600,3125
40,00000,00000,00050,00220,00640,01460,02840,04120,04880,07680,11280,14700,1563
50,00000,00000,00000,00010,00030,00100,00240,00410,00530,01020,01850,02820,0313
b.1
Obtener exactamente tres caras.0,75 pts
b.2
Obtener más de tres caras.0,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
a
De una urna que contiene tres bolas blancas y dos bolas rojas extraemos, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. Calcula razonadamente la probabilidad de:1,25 pts
a.1
Que la segunda bola extraída sea blanca.0,75 pts
a.2
Si la segunda bola extraída ha sido blanca, que la primera fuera roja.0,5 pts
b
El tiempo de duración de las llamadas telefónicas a cierta centralita se distribuye según una distribución normal de media 55 minutos y varianza 44. Calcula razonadamente:1,25 pts
b.1
La probabilidad de que una llamada dure menos de 4,54{,}5 minutos.0,75 pts
b.2
El tiempo de duración que no es superado por el 33%33\% de las llamadas.0,5 pts
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