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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2025

7 ejercicios

Instrucciones

– Para obtener la máxima calificación, se debe responder a una cuestión de cada apartado/bloque. – En aquellos apartados/bloques en los que se ofrece la posibilidad de elegir entre varias tareas, se debe responder solo a una de las opciones. Si se realiza más de una opción, se corregirá la primera de ellas, según el orden en que aparecen resueltas en el cuadernillo de examen. – Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. – Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. – No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Apartado 1Bloque A+D

Resuelve una de las siguientes cuestiones (1A o 1B).

Considera las matrices:A=(a+1111a+3111a+1), con a∈R; y B=(−1−32053).A = \begin{pmatrix} a + 1 & 1 & 1 \\ 1 & a + 3 & 1 \\ 1 & 1 & a + 1 \end{pmatrix}, \text{ con } a \in \mathbb{R}; \text{ y } B = \begin{pmatrix} - 1 & - 3 \\ 2 & 0 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}.
a
Halla los valores del parámetro aa para los cuales la matriz AA tiene inversa.1 pt
b
Considera a=−3a = -3. Calcula, si es posible, la matriz inversa de AA.1 pt
c
Considera a=−3a = -3. Halla, si es posible, la matriz XX que satisface la siguiente ecuación matricial: AX=BAX = B.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Apartado 1Bloque A+D

Resuelve una de las siguientes cuestiones (1A o 1B).

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:{ax+y−z=1(a2−2)y+2z=−2−x+z=0\begin{cases} ax + y - z = 1 \\ (a^2 - 2)y + 2z = -2 \\ -x + z = 0 \end{cases}dependiente del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.
a
Halla los valores de aa para los cuales el sistema es compatible.1,5 pts
b
Considera a=0a = 0. Si el sistema es compatible, halla su solución general.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Apartado 2Bloque B

Resuelve una de las siguientes cuestiones (2A o 2B).

Considera la siguiente función definida a trozos:f(x)={x3−8x2−4,si x≠2ek,si x=2f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}, & \text{si } x \neq 2 \\ e^k, & \text{si } x = 2 \end{cases}con k∈Rk \in \mathbb{R} un parámetro a determinar.
a
Determina el valor del parámetro kk para que f(x)f(x) sea continua en x=2x = 2.0,75 pts
b
Si existen, halla las asíntotas de f(x)f(x) y especifica de qué tipo son.1 pt
c
Obtén la ecuación de la recta tangente a f(x)f(x) en x=1x = 1.0,75 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Apartado 2Bloque B

Resuelve una de las siguientes cuestiones (2A o 2B).

Considera la siguiente función: f(x)=(x2−2)e2xf(x) = (x^2 - 2)e^{2x}.
a
Halla los puntos de corte de f(x)f(x) con el eje de abscisas OX y los puntos de corte de f(x)f(x) con el eje de ordenadas OY.0,5 pts
b
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).1 pt
c
Calcula el área comprendida entre la curva y=f(x)y = f(x), el eje OX y las rectas x=−2x = -2 y x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Apartado 3Bloque C
Considera la recta r:{2x−y=3y−2z=1r: \begin{cases} 2x - y = 3 \\ y - 2z = 1 \end{cases} y el punto P=(1,1,1)P = (1, 1, 1).
a
Determina los puntos de rr que están a una distancia de 14\sqrt{14} unidades de PP.1 pt
b
Obtén la ecuación del plano que contiene a rr y PP.0,75 pts
c
Calcula la distancia entre rr y PP.0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Apartado 4Bloque E

Resuelve una de las siguientes cuestiones (4A o 4B).

En un colegio se ofrecen solo atletismo y baloncesto como actividades deportivas extraescolares. En base a los datos de otros años, los docentes determinan que la probabilidad de que un alumno se matricule en atletismo es P(A)=0,40P(A) = 0{,}40 y que la probabilidad de que un estudiante se matricule en baloncesto es P(B)=0,65P(B) = 0{,}65. Además, solo un 10%10\% del alumnado no se matricula en ningún deporte.
a
Calcula la probabilidad de que un alumno se matricule en los dos deportes.1 pt
b
Calcula las siguientes probabilidades: P(A/B)P(A/B), P(B/A)P(B/A) y P(A/Bc)P(A/B^c), donde BcB^c representa el suceso contrario a BB.1,5 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Apartado 4Bloque E

Resuelve una de las siguientes cuestiones (4A o 4B).

Solo dos sedes de una empresa fabrican el mismo modelo de aspiradora. La sede A suministra el 60%60\% de la producción total. Un 0,15%0{,}15\% de las aspiradoras fabricadas en la sede A y un 0,1%0{,}1\% de las aspiradoras fabricadas en la sede B falla durante el primer año.
a
Calcula la probabilidad de que una aspiradora fabricada en la sede B no falle durante el primer año.0,75 pts
b
Calcula la probabilidad de que una aspiradora elegida al azar falle durante el primer año.0,75 pts
c
Si una aspiradora elegida al azar no falla durante el primer año, calcula la probabilidad de que haya sido fabricada en la sede A.1 pt
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