Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2021

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, es necesario que lo indique claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real kk:{x+ky+z=3+kkx+y+z=4x+3y+z=5\begin{cases} x + ky + z = 3 + k \\ kx + y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \end{cases}
a
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro kk.1,25 pts
b
Resuelva, si es posible, el sistema para el caso k=1k = 1, y realice una interpretación geométrica.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Dada la función f(x)=4xf(x) = \frac{4}{x}, calcule la ecuación de la recta tangente a y=f(x)y = f(x) en el punto de abscisa x=1x = 1. Encuentre también la ecuación de la recta normal a y=f(x)y = f(x) en este mismo punto.1,25 pts
b
Haga un esbozo de las gráficas de la curva y=f(x)y = f(x) y de la recta 4x+y=84x + y = 8, y calcule el área delimitada por estas dos gráficas, el eje de las abscisas y la recta vertical x=3x = 3.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
En R3\mathbb{R}^3 se dan los puntos A=(3,1,1)A = (3, 1, 1), B=(0,0,1)B = (0, 0, 1), C=(4,1,2)C = (4, 1, 2) y D=(1,1,t)D = (1, 1, t), en que tt es un valor real.
Datos
  • El volumen de un tetraedro definido por los vectores v⃗1,v⃗2\vec{v}_1, \vec{v}_2 y v⃗3\vec{v}_3 es igual a un sexto del valor absoluto del determinante de la matriz formada por los tres vectores, V=16∣det⁡(v⃗1,v⃗2,v⃗3)∣V = \frac{1}{6} | \det(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3) |
a
¿Para qué valor de tt los cuatro puntos son coplanarios?1 pt
b
Encuentre el valor de tt para que el tetraedro (irregular) que forman los cuatro puntos tenga un volumen de 5 u35\,\text{u}^3.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
En la figura se muestra la gráfica de la función f(x)f(x). Represente de manera esquemática la gráfica de la función derivada de f(x)f(x). Explique el razonamiento que ha seguido.1,25 pts
Gráfica de la función f(x) con puntos notables en (-0,5, -0,5), (0, 1), (0,5, 0,5), (1, 0) y (1,5, 1)
b
Calcule los valores de aa y bb para que la función g(x)=ax3+bx2+1g(x) = ax^3 + bx^2 + 1 tenga un punto de inflexión en x=12x = \frac{1}{2} y su derivada en este punto sea −32-\frac{3}{2}.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea la matriz A=(aa02a+1a−12a+10−a−3)A = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a + 1 & a - 1 \\ 2a + 1 & 0 & -a - 3 \end{pmatrix}, en que aa es un parámetro real.
a
Encuentre para qué valores de aa la matriz AA es invertible.1 pt
b
Compruebe que, para el caso a=3a = 3, la matriz AA es invertible y resuelva la ecuación matricial AX=B−3IAX = B - 3I, en que BB es la matriz B=(633252114)B = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere la función f(x)=x3x−2f(x) = \frac{x^3}{x - 2}
a
Estudie si tiene puntos críticos y, en caso de que tenga, justifique de qué tipo son. Determine también cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.1,5 pts
b
Compruebe que la ecuación f(x)=0f(x) = 0 tiene una única solución en el intervalo (−2,1)(-2, 1).1 pt
Ver este ejercicio