Matemáticas II · Cataluña 2021

Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $k$.

Resuelva, si es posible, el sistema para el caso $k = 1$, y realice una interpretación geométrica.

Dada la función $f(x) = \frac{4}{x}$, calcule la ecuación de la recta tangente a $y = f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$. Encuentre también la ecuación de la recta normal a $y = f(x)$ en este mismo punto.

Haga un esbozo de las gráficas de la curva $y = f(x)$ y de la recta $4x + y = 8$, y calcule el área delimitada por estas dos gráficas, el eje de las abscisas y la recta vertical $x = 3$.

¿Para qué valor de $t$ los cuatro puntos son coplanarios?

Encuentre el valor de $t$ para que el tetraedro (irregular) que forman los cuatro puntos tenga un volumen de $5\,\text{u}^3$.

En la figura se muestra la gráfica de la función $f(x)$. Represente de manera esquemática la gráfica de la función derivada de $f(x)$. Explique el razonamiento que ha seguido.

Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función $g(x) = ax^3 + bx^2 + 1$ tenga un punto de inflexión en $x = \frac{1}{2}$ y su derivada en este punto sea $-\frac{3}{2}$.

Encuentre para qué valores de $a$ la matriz $A$ es invertible.

Compruebe que, para el caso $a = 3$, la matriz $A$ es invertible y resuelva la ecuación matricial $AX = B - 3I$, en que $B$ es la matriz $B = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$.

Estudie si tiene puntos críticos y, en caso de que tenga, justifique de qué tipo son. Determine también cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Compruebe que la ecuación $f(x) = 0$ tiene una única solución en el intervalo $(-2, 1)$.