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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2019

4 ejercicios

Instrucciones

OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{x+y+az=1x+ay+z=aax+y+z=a+3\begin{cases} x + y + az = 1 \\ x + ay + z = a \\ ax + y + z = a + 3 \end{cases}
a
Determine para qué valores de aa el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para a=0a = 0.1 pt
b
Determine para qué valor de aa el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.1 pt
c
Determine para qué valor de aa el sistema no tiene solución.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫x2cos⁡x dx\int x^2 \cos x \, dx.1,5 pts
b
Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales x=0x = 0 y x=πx = \pi, y la gráfica de la función f(x)=x2cos⁡xf(x) = x^2 \cos x.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Los puntos A=(3,0,0)A = (3,0,0), B=(0,3,0)B = (0,3,0) y C=(0,0,3)C = (0,0,3) son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice DD está contenido en la recta rr que pasa por el punto P=(1,1,1)P = (1,1,1) y es perpendicular al plano π\pi que contiene a los puntos AA, BB y CC.
a
Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos AA, BB y CC.0,5 pts
b
Calcule la ecuación de la recta rr que pasa por el punto P=(1,1,1)P = (1,1,1) y es perpendicular al plano π\pi.0,5 pts
c
Calcule las coordenadas del vértice DD sabiendo que el volumen del tetraedro es 1818.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
(En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal). El tiempo de duración de las bombillas de una cierta marca, medido en horas, sigue una distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ\sigma. Se sabe que el 69,50%69{,}50\% de las bombillas duran menos de 5061,25061{,}2 horas, y que el 16,60%16{,}60\% de las bombillas duran más de 5116,45116{,}4 horas.
a
¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla de esta marca dure entre 5061,25061{,}2 y 5116,45116{,}4 horas?1 pt
b
Calcule la media y la desviación típica de esta distribución normal.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la matriz A=(111010001)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcule las potencias sucesivas A2,A3A^2, A^3 y A4A^4.1 pt
b
Calcule la expresión general de AnA^n para cualquier valor de n∈Nn \in \mathbb{N}.0,5 pts
c
Determine si existe la inversa de AA. En caso afirmativo, calcúlela.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere un triángulo isósceles cuya base de 12 cm12\,\text{cm} es el lado desigual y cuya altura es de 5 cm5\,\text{cm}. Se quiere determinar un punto AA situado sobre la altura a una distancia xx de la base de manera que la suma de las distancias del punto AA a los tres vértices del triángulo sea mínima. Observe la figura:
Triángulo isósceles con base 12, altura 5 y punto A a distancia x de la base.
a
Demuestre que la suma de las distancias del punto AA a los tres vértices del triángulo viene dada por la expresión f(x)=5−x+2x2+36f(x) = 5 - x + 2\sqrt{x^2 + 36}.0,5 pts
b
Calcule el valor de xx para que la suma de las distancias sea mínima.1,5 pts
c
Calcule dicha cantidad mínima.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere las siguientes rectas:r:x−51=y−61=z+11r: \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 6}{1} = \frac{z + 1}{1}s:x−11=y1=z+1−1s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-1}
a
Estudie la posición relativa de ambas rectas.1 pt
b
En caso de que las rectas se corten, calcule el plano que las contiene y el ángulo que forman ambas rectas. En caso de que las rectas se crucen, calcule la perpendicular común a ambas rectas.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
(En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal). La probabilidad de que un determinado equipo de fútbol gane cuando juega en casa es 23\frac{2}{3}, y la probabilidad de que gane cuando juega fuera es 25\frac{2}{5}.
a
Sin saber dónde jugará el próximo partido, calcule la probabilidad de que gane.1 pt
b
Si ganó el último partido del campeonato, ¿cuál es la probabilidad de que jugara en casa?1,5 pts
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