Matemáticas II · Murcia 2019

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} x + y + az = 1 \\ x + ay + z = a \\ ax + y + z = a + 3 \end{cases}$$

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Considere un triángulo isósceles cuya base de $12\,\text{cm}$ es el lado desigual y cuya altura es de $5\,\text{cm}$. Se quiere determinar un punto $A$ situado sobre la altura a una distancia $x$ de la base de manera que la suma de las distancias del punto $A$ a los tres vértices del triángulo sea mínima. Observe la figura:

Los puntos $A = (3,0,0)$, $B = (0,3,0)$ y $C = (0,0,3)$ son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice $D$ está contenido en la recta $r$ que pasa por el punto $P = (1,1,1)$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$.

Considere las siguientes rectas: $$r: \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 6}{1} = \frac{z + 1}{1}$$ $$s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-1}$$

(En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal). El tiempo de duración de las bombillas de una cierta marca, medido en horas, sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$. Se sabe que el $69{,}50\%$ de las bombillas duran menos de $5061{,}2$ horas, y que el $16{,}60\%$ de las bombillas duran más de $5116{,}4$ horas.

(En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal). La probabilidad de que un determinado equipo de fútbol gane cuando juega en casa es $\frac{2}{3}$, y la probabilidad de que gane cuando juega fuera es $\frac{2}{5}$.