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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2024

10 ejercicios

Instrucciones

En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar). Justifica los pasos realizados para llegar a la solución obtenida.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la siguiente funciónf(x)={a−cos⁡(x)x≤0x2−bsen⁡(x+π2)x>0,a,b∈R.f(x) = \begin{cases} a - \cos(x) & x \leq 0 \\ x^2 - b \operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) & x > 0 \end{cases}, \qquad a, b \in \mathbb{R}.
a
Estudia su continuidad en R\mathbb{R} según los valores de aa y bb.1 pt
b
Para a=1a = 1, calcula el valor de bb para que, en el punto con x=π2x = \frac{\pi}{2}, la función tenga la recta tangente y=π2xy = \frac{\pi}{2}x.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Estudia la existencia del siguiente límite y calcúlalo en caso de existir:lim⁡x→2(x−2)⋅(3x5+5x4−7x3+2x2−x+3)+23−(x2−4)⋅sen⁡(2x2)+(cos⁡(x))2+log⁡(x+5).\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) \cdot (3x^5 + 5x^4 - 7x^3 + 2x^2 - x + 3) + 2}{3 - (x^2 - 4) \cdot \sqrt{\operatorname{sen}(2x^2) + (\cos(x))^2 + \log(x + 5)}}.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula el área encerrada por las gráficas de las funciones f(x)=x+6f(x) = x + 6 y g(x)={−2xsi x<0x2si x≥0g(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En una cristalería, a un cristal rectangular de 120120 centímetros de alto y 7070 centímetros de ancho se le ha cortado por error la esquina superior derecha como se ve en el dibujo. Quieren recortar dicho cristal nuevamente de forma rectangular, de modo que la superficie sea la máxima posible haciendo como máximo dos cortes. ¿Cuáles serán las dimensiones del nuevo cristal rectangular recortado?
Diagrama de un cristal rectangular con una esquina cortada, indicando dimensiones de 120 cm de alto, 70 cm de ancho total, 60 cm de ancho superior y 90 cm de altura en el lado derecho.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
De una matriz BB sabemos que cumple(123456−7−8−9)⋅B=I3−(101112799−4−5−7)⋅B,\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -7 & -8 & -9 \end{pmatrix} \cdot B = I_3 - \begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 7 & 9 & 9 \\ -4 & -5 & -7 \end{pmatrix} \cdot B,donde I3I_3 es la matriz identidad de orden 3. Estudia si la matriz BB tiene inversa. En caso afirmativo, calcula la inversa de BB.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dadas la siguientes matricesA=(1111mm442m),B=(3512),m∈R.A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m \\ 4 & 4 & 2m \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix}, \qquad m \in \mathbb{R}.
a
Analiza el rango de la matriz AA según los valores de m∈Rm \in \mathbb{R}.1,2 pts
b
Resuelve el sistema A⋅X=BA \cdot X = B para el valor m=2m = 2.0,8 pts
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Ejercicio 7

7
2 puntos
En un laboratorio de una empresa farmacéutica se fabrican tres tipos de medicamentos, M1,M2M_1, M_2 y M3M_3, a partir de tres principios activos, A1,A2A_1, A_2 y A3A_3, distintos. En la siguiente tabla se reflejan los miligramos de principio activo necesarios para fabricar un gramo de cada medicamento: En dicho laboratorio se dispone actualmente de 7070 gramos del activo A1A_1, 9090 gramos del activo A2A_2 y 160160 gramos del activo A3A_3. Se va a cerrar por vacaciones y la empresa quiere no dejar principios activos en el laboratorio. ¿Es posible utilizar la cantidad total exacta disponible de principios activos del laboratorio fabricando los medicamentos M1,M2M_1, M_2 y M3M_3? En caso afirmativo, ¿qué cantidades de cada medicamento podrá fabricar el laboratorio con dichos principios activos?
mg de A1A_1mg de A2A_2mg de A3A_3
para 1g de M1M_1101020
para 1g de M2M_2102030
para 1g de M3M_3203050
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Halla la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos x−y+z=−3x - y + z = -3 y 2x+y−z=02x + y - z = 0 y además pasa por el punto (3,2,1)(3, 2, 1).
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Sean A(1,2,3),B(1,0,−1)A(1, 2, 3), B(1, 0, -1) y C(2,2,2)C(2, 2, 2) tres puntos en el espacio y v⃗1\vec{v}_1 el vector que va de AA a BB; v⃗2\vec{v}_2 el vector que va de BB a CC y v⃗3\vec{v}_3 el vector que va de CC a AA.
a
Estudia si los vectores v⃗1,v⃗2\vec{v}_1, \vec{v}_2 y v⃗3\vec{v}_3 son linealmente independientes.1 pt
b
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A,B,CA, B, C.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
El 84 %84\,\% de los exámenes de Matemáticas II de la fase genérica en la convocatoria ordinaria de la EvAU en 2022 en Aragón obtuvieron una nota mayor o igual a 5.
a
Si seleccionamos aleatoriamente 15 de aquellos exámenes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan una nota inferior a 5?0,8 pts
b
Con los 15 exámenes anteriores, ¿es más probable que menos de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 o que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5?1,2 pts
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