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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCantabriaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cantabria 2018

3 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija una de las dos opciones. No se admitirá ningún resultado si no está debidamente razonado. No se permiten calculadoras gráficas, ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,5 puntos
a
Calcular los valores del parámetro aa para los cuales la matriz A=(a−20−3−1a+301−11)A = \begin{pmatrix} a - 2 & 0 & - 3 \\ - 1 & a + 3 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{pmatrix} tiene inversa.1 pt
b
Utilizando los resultados obtenidos en el apartado anterior, determinar para qué valores del parámetro aa, las siguientes matrices tienen inversa:0,5 pts
b.1
A2A^20,25 pts
b.2
La traspuesta de A:AtA: A^t0,25 pts
c
Consideremos la matriz del apartado A para a=1a = 1, y las matrices:B=(−1020201−11)yC=(213020100)B = \begin{pmatrix} - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}Resolver la ecuación matricial A−1XB+C=IdA^{-1} X B + C = Id.2 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
El coste, en euros, de fabricar xx unidades de un producto es C(x)=3x+25C(x) = 3x + 25. Se ha fijado un precio de venta por unidad que también depende del número de unidades producidas: 13−x275013 - \frac{x^2}{750} euros. ¿Cuántas unidades deben fabricarse para obtener los máximos beneficios? ¿Cuál es el precio de venta por unidad que debe fijarse para obtener dichos beneficios?1,75 pts
b
Dada la función f(x)=x+3x2+6x+5f(x) = \frac{x + 3}{x^2 + 6x + 5}:1,75 pts
b.1
Determinar sus asíntotas verticales. Esbozar la posición de la gráfica respecto a dichas asíntotas, calculando previamente los límites laterales correspondientes.1 pt
b.2
Calcular la integral definida: ∫12x+3x2+6x+5dx\int_{1}^{2} \frac{x + 3}{x^2 + 6x + 5} dx0,75 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
El Centro de Idiomas de la Universidad de Cantabria realiza un examen de inglés a todos los alumnos de nuevo ingreso en el curso 2017/2018. La nota obtenida sigue una distribución normal con desviación típica 1,91{,}9. Una muestra aleatoria de 100100 alumnos da como resultado una nota media de 6,826{,}82.
a
Obtener el intervalo de confianza del 90%90\% para la nota media.1,5 pts
b
¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 98%98\% sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior?1,5 pts
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Ejercicio 1

1
3,5 puntos
Una asociación de vecinos ha programado una excursión en la que se han inscrito 540540 personas. La compañía con la que han contratado el viaje dispone de 1212 autocares de 6060 plazas y de 99 de 4040 plazas, pero en las fechas previstas para el viaje solo se podrá contar con 1010 conductores. Por otro lado, alquilar un autocar grande supone 100100 euros; y uno pequeño, 6565 euros. ¿Cuántos autocares de cada tipo deberán alquilarse para minimizar los costes?
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Dada la función f(x)=x3+x2−12xf(x) = x^3 + x^2 - 12x
a
Obtener los puntos de corte con los ejes OX y OY.0,1 pts
b
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.0,6 pts
c
Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan.0,6 pts
d
Dibujar la región delimitada por la curva anterior y la recta g(x)=−6xg(x) = - 6x.0,5 pts
e
Calcular el área de la región anterior.1,7 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
De los alumnos matriculados en 1º en los grados de Economía, Administración y Dirección de Empresas y Derecho, de determinada universidad, conocemos su nivel de inglés. Los datos desglosados aparecen en la tabla adjunta. Escogido un alumno al azar:
Datos
  • F(x)=p(X≤x)=∫−∞x12πe−12t2dtF(x) = p(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal estándar con el área sombreada hasta el valor x.
G. EconómicasG. Adm. y D. EmpresasG. DerechoTotal
Nivel alto20333487
Nivel medio7816776321
Nivel bajo272065112
Total125220175520
a
¿Cuál es la probabilidad de que esté estudiando Derecho?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que estudie Económicas y tenga un nivel alto?1 pt
c
Si sabemos que el alumno tiene un nivel medio, ¿cuál es la probabilidad de que esté estudiando Administración y D. de Empresas?1 pt
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