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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2025Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2025

7 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2 puntos
PARTE 1. NÚMEROS Y ÁLGEBRA
Una empresa fabrica dos modelos de joyas: A y B. Para fabricar una joya del modelo A necesita 2 gramos de oro y 4 gramos de plata; para cada una del modelo B, se precisa de 4 gramos de oro y 2 gramos de plata. La disponibilidad máxima semanal es de 420 gramos de oro y de 350 gramos de plata. Si el beneficio que obtiene es de 60 euros por cada unidad de A y 80 euros por cada una de B, se pide:
a)0,5 pts
Plantea el problema de programación lineal que permita saber cuántas joyas de cada modelo (A y B) se deben producir para maximizar el beneficio.
b)0,5 pts
Representa la región factible.
c)0,5 pts
Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región.
d)0,5 pts
Calcula el número de joyas de cada modelo que se deben fabricar con el fin de maximizar el beneficio. ¿A cuánto ascendería este beneficio?
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
PARTE 1. NÚMEROS Y ÁLGEBRA

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (2.1 o 2.2)

Dada la matriz A=(k301k4k+384)A = \begin{pmatrix} k & 3 & 0 \\ 1 & k & 4 \\ k + 3 & 8 & 4 \end{pmatrix} (kk: número real), se pide:
a)1 pts
Calcula para qué valores de "k" la matriz A posee rango 3.
b)1 pts
Para k=1k = 1, calcula una matriz X que verifique la igualdad AX=(11936)AX = \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \\ 36 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
PARTE 1. NÚMEROS Y ÁLGEBRA

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (2.1 o 2.2)

Un grupo de niños de una clase han reunido, para vender en el mercadillo solidario de su colegio, objetos de tres tipos: imanes para nevera, bolas navideñas y llaveros. Cada imán lo han vendido a 11 €, cada bola navideña, a 1,51{,}5 € y cada llavero, a 22 €. Han vendido todos los objetos que habían reunido y de dicha venta han obtenido un total de 8787 €. El número de bolas navideñas representaba el 80%80\% del número de imanes; con la venta de las bolas de Navidad han obtenido 22 € menos que con la venta de los llaveros. Calcula el número de objetos de cada tipo (imanes, bolas y llaveros) que han vendido.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
PARTE 2. ANÁLISIS

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (3.1 o 3.2)

Dada la función f(x)=x3+ax2+21x+bf(x) = x^3 + ax^2 + 21x + b (aa y bb: números reales), se pide:
a)0,75 pts
Calcula qué valores deben tomar "a" y "b" para que f(x)f(x) tenga un extremo relativo en x=1x = 1 y la gráfica de f(x)f(x) pase por el punto (0,3)(0, 3).
b)1,25 pts
Para a=−12a = -12 y b=100b = 100; calcula los máximos y mínimos, relativos y absolutos, de f(x)f(x) en el intervalo cerrado [0,8][0, 8].
c)1 pts
Calcula el valor que debe tomar "a" para que se cumpla la igualdad: ∫02(3x2+2ax+21)dx=30\int_{0}^{2} (3x^2 + 2ax + 21) dx = 30
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
PARTE 2. ANÁLISIS

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (3.1 o 3.2)

El beneficio de una empresa, expresado en miles de euros, a lo largo de 6 meses viene dado por la función: f(t)=t3−9t2+24t+8,0≤t≤6f(t) = t^3 - 9t^2 + 24t + 8, \quad 0 \leq t \leq 6 siendo tt: número de meses transcurridos
a)1 pts
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio. Calcula en qué mes ha obtenido la empresa el máximo beneficio en el intervalo de tiempo considerado, [0,6][0, 6] y cuál es el valor de dicho beneficio.
b)1 pts
Estudia si hay o no puntos de inflexión y en el caso de haberlos, calcúlalos. Representa gráficamente la función en el intervalo [0,6][0, 6].
c)1 pts
Calcula el área limitada por la gráfica de ff, el eje X y las rectas x=0x = 0 y x=2x = 2.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
3 puntos
PARTE 3. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (4.1 o 4.2)

Resuelve los apartados A) y B)
a)1 pts
El examen de cierta materia se compone de dos partes; una teórica y otra práctica. Se sabe que un 20%20\% de los estudiantes aprueban ambas partes; un 70%70\% aprueba la parte teórica; y un 40%40\% aprueba la parte práctica. Elegido un estudiante al azar entre los presentados, se pide:
a.1)
Probabilidad de que apruebe la parte práctica si ha aprobado la parte teórica.
a.2)
Probabilidad de que apruebe alguna de las dos partes.
b)2 pts
El peso, en gramos, de un cierto tipo de cobayas sigue una distribución normal de media μ\mu y desviación típica 100100 gramos.
b.1)
Se ha tomado una muestra aleatoria de 100100 cobayas y su peso medio ha sido de 255255 gramos. Calcula un intervalo de confianza del 93%93\% para estimar μ\mu.
b.2)
Supongamos que μ=250\mu = 250 gramos: si se considera una muestra aleatoria con 2525 cobayas, calcula la probabilidad de que el peso medio de la muestra se encuentre entre 230230 gramos y 280280 gramos.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
3 puntos
PARTE 3. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (4.1 o 4.2)

Resuelve los apartados A) y B)
a)1 pts
Una empresa fabrica tres tipos de piezas mecánicas A, B y C. Para dicha fabricación se dispone de tres máquinas distintas M1M_1, M2M_2 y M3M_3. El número de piezas fabricadas por cada máquina se indica en la siguiente tabla:
Piezas tipo APiezas tipo BPiezas tipo CTotal
M1506040150
M2407555170
M3456570180
Total135200165500
a.1)
Calcula la probabilidad de que no haya sido fabricada por la máquina 1.
a.2)
Si la pieza es de tipo B, calcula la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina 2.
b)2 pts
El peso de las mujeres estudiantes de cierta universidad sigue una distribución normal de media μ\mu y desviación típica 66 kg.
b.1)
Se toma una muestra aleatoria con 6464 mujeres de dicha universidad y la media de sus pesos es 6666 kg. Calcula un intervalo de confianza al 99%99\% para la media μ\mu.
b.2)
¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que al estimar μ\mu con la media muestral al mismo nivel de confianza, el error sea a lo sumo de 22 kg?
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