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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2022

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro tt. {tx+y+z=4x−ty+z=1x+y+z=t+2\begin{cases} tx + y + z = 4 \\ x - ty + z = 1 \\ x + y + z = t + 2 \end{cases}
a)0,75 pts
Determine para qué valores de tt el sistema tiene solución única.
b)1 pts
Determine para qué valores de tt el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c)0,75 pts
Determine para qué valores de tt el sistema no tiene solución.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la función f(x)=exxf(x) = \frac{e^x}{x}.
a)0,5 pts
Calcule la derivada primera de f(x)f(x).
b)0,5 pts
Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=2x = 2.
c)0,5 pts
Calcule las asíntotas verticales de f(x)f(x).
d)1 pts
Calcule las asíntotas horizontales de f(x)f(x).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Los puntos A=(0,−1,1)A = (0, -1, 1), B=(1,1,1)B = (1, 1, 1) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice está contenido en la recta rr que pasa por el punto BB y es perpendicular al plano π:2x−y+z=1\pi: 2x - y + z = 1.
a)1,5 pts
Calcule la ecuación de la recta rr.
b)1 pts
Calcule las coordenadas del vértice CC sabiendo que el área del triángulo es 3303\sqrt{30}.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
El tiempo de vuelo de un avión Santander-Madrid sigue una distribución normal de media 6060 minutos y desviación típica 55 minutos.
a)1,25 pts
Para conectar con el siguiente vuelo con destino Sevilla, se necesita que el avión tarde menos de T=70T = 70 minutos. Calcule la probabilidad de perder el avión a Sevilla.
b)1,25 pts
Calcule cuánto debe valer TT para que la probabilidad de perder el avión sea del 0,1%0{,}1\%.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sean las matrices A=(10−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, B=(2021)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, C=(2201)C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
a)0,5 pts
Calcule A2A^2 y comprueba que es regular.
b)0,5 pts
Calcule la matriz inversa de A2A^2.
c)1 pts
Despeje XX en la ecuación matricial A2X+B=CA^2 X + B = C.
d)0,5 pts
Calcule la matriz XX de orden 2×22 \times 2, que verifica A2X+B=CA^2 X + B = C.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere la función f(x)=3xf(x) = \frac{3}{x}.
a)1 pts
Calcule el dominio y las asíntotas de f(x)f(x).
b)0,5 pts
Halle una primitiva de f(x)f(x).
c)1 pts
Calcule el área de la región limitada por la función y=f(x)y = f(x), las rectas x=1x = 1, x=ex = e y el eje OXOX de abscisas.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera la recta r:x+1−1=y+32=z1r: \frac{x + 1}{-1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z}{1} y el plano π:x−2y−z=−1\pi: x - 2y - z = -1.
a)1 pts
Estudie la posición relativa de recta y plano.
b)1,5 pts
Si rr corta a π\pi calcule el punto de corte y el ángulo que forman. Si la recta no corta al plano, calcule la distancia entre ambos.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
El 90%90\% de las personas de una población están vacunadas contra la enfermedad EE. El 5%5\% de las personas no vacunadas tienen la enfermedad EE, y el 1%1\% de las personas vacunadas también han contraído la enfermedad. Se selecciona una persona al azar de dicha población:
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar con el área sombreada hasta el valor x.
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar con el área sombreada hasta el valor x.
a)1 pts
Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma.
b)1,5 pts
Calcule la probabilidad de que esté vacunada sabiendo que está enferma.
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