Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. 1. Debe escoger solo cuatro ejercicios elegidos entre los ocho de los que consta el examen. Si realiza más de cuatro ejercicios solo se coregirán los cuatro primeros, según el orden que aparecen resul tos en el cuadernillo de examen. 3. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 5. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro tt.{tx+y+z=4x−ty+z=1x+y+z=t+2\begin{cases} tx + y + z = 4 \\ x - ty + z = 1 \\ x + y + z = t + 2 \end{cases}
a
Determine para qué valores de tt el sistema tiene solución única.0,75 pts
b
Determine para qué valores de tt el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.1 pt
c
Determine para qué valores de tt el sistema no tiene solución.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la función f(x)=exxf(x) = \frac{e^x}{x}.
a
Calcule la derivada primera de f(x)f(x).0,5 pts
b
Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=2x = 2.0,5 pts
c
Calcule las asíntotas verticales de f(x)f(x).0,5 pts
d
Calcule las asíntotas horizontales de f(x)f(x).1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Los puntos A=(0,−1,1)A = (0, -1, 1), B=(1,1,1)B = (1, 1, 1) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice está contenido en la recta rr que pasa por el punto BB y es perpendicular al plano π:2x−y+z=1\pi: 2x - y + z = 1.
a
Calcule la ecuación de la recta rr.1,5 pts
b
Calcule las coordenadas del vértice CC sabiendo que el área del triángulo es 3303\sqrt{30}.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
El tiempo de vuelo de un avión Santander-Madrid sigue una distribución normal de media 6060 minutos y desviación típica 55 minutos.
a
Para conectar con el siguiente vuelo con destino Sevilla, se necesita que el avión tarde menos de T=70T = 70 minutos. Calcule la probabilidad de perder el avión a Sevilla.1,25 pts
b
Calcule cuánto debe valer TT para que la probabilidad de perder el avión sea del 0,1%0{,}1\%.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sean las matrices A=(10−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, B=(2021)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, C=(2201)C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calcule A2A^2 y comprueba que es regular.0,5 pts
b
Calcule la matriz inversa de A2A^2.0,5 pts
c
Despeje XX en la ecuación matricial A2X+B=CA^2 X + B = C.1 pt
d
Calcule la matriz XX de orden 2×22 \times 2, que verifica A2X+B=CA^2 X + B = C.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere la función f(x)=3xf(x) = \frac{3}{x}.
a
Calcule el dominio y las asíntotas de f(x)f(x).1 pt
b
Halle una primitiva de f(x)f(x).0,5 pts
c
Calcule el área de la región limitada por la función y=f(x)y = f(x), las rectas x=1x = 1, x=ex = e y el eje OXOX de abscisas.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera la recta r:x+1−1=y+32=z1r: \frac{x + 1}{-1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z}{1} y el plano π:x−2y−z=−1\pi: x - 2y - z = -1.
a
Estudie la posición relativa de recta y plano.1 pt
b
Si rr corta a π\pi calcule el punto de corte y el ángulo que forman. Si la recta no corta al plano, calcule la distancia entre ambos.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
2,5 puntos
El 90%90\% de las personas de una población están vacunadas contra la enfermedad EE. El 5%5\% de las personas no vacunadas tienen la enfermedad EE, y el 1%1\% de las personas vacunadas también han contraído la enfermedad. Se selecciona una persona al azar de dicha población:
Datos
  • F(x)=p(X≤x)=∫−∞x12πe−12t2dtF(x) = p(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar con el área sombreada hasta el valor x.
a
Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma.1 pt
b
Calcule la probabilidad de que esté vacunada sabiendo que está enferma.1,5 pts
Ver este ejercicio