Matemáticas II · Asturias 2021

Dado el sistema de ecuaciones $\begin{cases} ax + z = a \\ 2x - y - z = -1 \\ x + az = a \end{cases}$ con $a \in \mathbb{R}$.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calcula:

Sea la función $f(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$

En una nave industrial se quiere instalar una pantalla de cine (ver figura). La forma de la nave es la descrita por la gráfica de la función $f(x) = 12 - \frac{x^2}{3} \geq 0$. Calcula los valores positivos $(x, y)$ que hacen máxima el área de la pantalla.

Sea el tetraedro de la figura formado por $A(3, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 6)$ y $D(\alpha, 3, 1)$. Calcula:

Sean el punto $P(1, 0, 1)$ y la recta $r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + z = 0 \end{cases}$. Calcula:

Se tienen tres cajas. En la caja A hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. En la caja B, 6 dados negros y 2 dados rojos y en la caja C, 2 dados negros y 4 dados rojos. El suceso consiste en sacar una bola y un dado. En primer lugar se extrae al azar una bola de la caja A. Si es negra, se extrae al azar un dado de la caja B pero, si la bola es roja se extrae al azar un dado de la caja C. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos sin relación entre ellos:

Se tiene un suceso con variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal de media $\mu = 30$ y desviación típica $\sigma = 10$. Calcula: