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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. TIEMPO Y CALIFICACIÓN: 90 minutos. Cada ejercicio se calificará sobre 2,5 puntos. El estudiante deberá indicar la agrupación de preguntas que responderá. La selección de preguntas deberá realizarse conforme a las instrucciones planteadas, no siendo válido seleccionar preguntas que sumen más de 10 puntos, ni agrupaciones de preguntas que no coincidan con las indicadas, lo que puede conllevar la anulación de alguna pregunta que se salga de las instrucciones.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1
Dado el sistema de ecuaciones {ax+z=a2x−y−z=−1x+az=a\begin{cases} ax + z = a \\ 2x - y - z = -1 \\ x + az = a \end{cases} con a∈Ra \in \mathbb{R}.
a
Estudia y clasifica el sistema según los valores de aa.1,5 pts
b
Resuélvelo para los casos en que el sistema sea compatible indeterminado.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 1
Sea la matriz A=(122212101)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Calcula:
a
Si existe, su inversa.1 pt
b
La matriz XX cuadrada de orden 3 que verifica: (X+A)2−X2−X⋅A=I3(X + A)^2 - X^2 - X \cdot A = I_3 (I3I_3 matriz identidad de orden 3).1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 2
Sea la función f(x)=1−1x2f(x) = 1 - \frac{1}{x^2}
a
Haz un esbozo de su gráfica determinando: dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y regiones de convexidad y concavidad.1,5 pts
b
Calcula el área de la región limitada por la recta tangente a la función en el punto de abscisa x=1x = 1, la recta y=1y = 1 y el eje de ordenadas.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 2
En una nave industrial se quiere instalar una pantalla de cine (ver figura). La forma de la nave es la descrita por la gráfica de la función f(x)=12−x23≥0f(x) = 12 - \frac{x^2}{3} \geq 0. Calcula los valores positivos (x,y)(x, y) que hacen máxima el área de la pantalla.
Gráfica de la función f(x) con un rectángulo inscrito que representa la pantalla de cine, indicando el punto (x,y) en la curva.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Bloque 3
Sea el tetraedro de la figura formado por A(3,0,0)A(3, 0, 0), B(0,2,0)B(0, 2, 0), C(0,0,6)C(0, 0, 6) y D(α,3,1)D(\alpha, 3, 1). Calcula:
Representación de un tetraedro con vértices etiquetados A, B, C y D.
a
El área del triángulo limitado por los puntos AA, BB y CC.0,5 pts
b
La ecuación del plano π\pi que pasa por los puntos AA, BB y CC.0,75 pts
c
El valor de α\alpha para que el vector AD⃗\vec{AD} sea perpendicular al plano π\pi anterior.0,75 pts
d
Para α=5\alpha = 5, el punto D′D' simétrico de DD respecto al plano π\pi.0,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque 3
Sean el punto P(1,0,1)P(1, 0, 1) y la recta r:{x+y+z=0x+z=0r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + z = 0 \end{cases}. Calcula:
a
Las ecuaciones paramétricas de la recta rr.0,75 pts
b
La distancia de rr a PP y el punto Q∈rQ \in r donde se alcanza dicha distancia.1 pt
c
La ecuación del plano π\pi que contiene a rr y está a la misma distancia de PP que rr.0,75 pts
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Bloque 4
Se tienen tres cajas. En la caja A hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. En la caja B, 6 dados negros y 2 dados rojos y en la caja C, 2 dados negros y 4 dados rojos. El suceso consiste en sacar una bola y un dado. En primer lugar se extrae al azar una bola de la caja A. Si es negra, se extrae al azar un dado de la caja B pero, si la bola es roja se extrae al azar un dado de la caja C. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos sin relación entre ellos:
a
La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos.0,75 pts
b
La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color.0,75 pts
c
La probabilidad de que el dado sea rojo.1 pt
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque 4
Se tiene un suceso con variable aleatoria XX que sigue una distribución normal de media μ=30\mu = 30 y desviación típica σ=10\sigma = 10. Calcula:
Datos
  • F(0)=0,5F(0) = 0{,}5
  • F(0,6745)=0,75F(0{,}6745) = 0{,}75
  • F(0,8416)=0,8F(0{,}8416) = 0{,}8
  • F(1)=0,8413F(1) = 0{,}8413
  • F(1,375)=0,9154F(1{,}375) = 0{,}9154
  • F(1,5)=0,9332F(1{,}5) = 0{,}9332
  • F(2)=0,9772F(2) = 0{,}9772
a
La probabilidad de que X≤20X \leq 20.1,25 pts
b
Se hace una revisión de los datos y se observa que la probabilidad del 50%50\% se alcanza en el valor X≤35X \leq 35 y la probabilidad del 75%75\% se alcanza en el valor X≤40X \leq 40. ¿Cuáles son las nuevas media y desviación típica?1,25 pts
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