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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2019

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{ax+y−2z=0x+y−az=−1x+y+z=a\begin{cases} ax + y - 2z = 0 \\ x + y - az = -1 \\ x + y + z = a \end{cases}
a
Determine para qué valores de aa el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para a=2a = 2.1 pt
b
Determine para qué valor de aa el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.1 pt
c
Determine para qué valor de aa el sistema no tiene solución.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcule los extremos relativos (máximos y mínimos) de f(x)=x2+2xexf(x) = \frac{x^2 + 2x}{e^x}, definida para todo valor de x∈Rx \in \mathbb{R}. Determine también los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).1,5 pts
b
Calcule lim⁡x→0(1x−1ex−1)\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la recta r:x+1−1=y+32=z1r : \frac{x + 1}{-1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z}{1} y el plano π:x−2y−z=−1\pi : x - 2y - z = -1
a
Estudie la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi.1 pt
b
En caso de que la recta corte al plano, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso de que la recta no corte al plano, calcule la distancia entre ambos.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
La probabilidad de que una flecha dé en la diana es 0,400{,}40. Si se lanzan 9 flechas, determine:
Datos
  • En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal
a
Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de flechas que dan en la diana.1 pt
b
Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución.0,5 pts
c
Cuál es la probabilidad de que al menos 5 flechas den en la diana.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la matriz A=(−1a001a1−11)A = \begin{pmatrix} -1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
a
Determine para qué valores de aa la matriz AA tiene inversa.1 pt
b
Para a=1a = 1, calcule la inversa de AA.0,5 pts
c
Para a=1a = 1, resuelva la ecuación matricial XA+2I=2AXA + 2I = 2A, donde II es la matriz identidad 3×33 \times 3.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫x1+xdx\int \frac{\sqrt{x}}{1 + x} dx.1 pt
b
Determine la primitiva de x1+x\frac{\sqrt{x}}{1 + x} que pasa por el punto (1,2)(1, 2).0,5 pts
c
Calcule el límite lim⁡x→+∞x1+x\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{1 + x}.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Los puntos A=(0,−1,1)A = (0, -1, 1) y B=(1,1,1)B = (1, 1, 1) son dos de los vértices de un triángulo. El tercer vértice CC está contenido en la recta rr que pasa por el punto BB y es perpendicular al plano π:2x−y+z=1\pi : 2x - y + z = 1.
a
Calcule la ecuación de la recta rr que pasa por el punto BB y es perpendicular al plano π\pi.1 pt
b
Calcule las coordenadas del vértice CC sabiendo que el área del triángulo es 3303\sqrt{30}.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
El 60% de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el 25% en Madrid, y el resto en Lisboa. El 1% de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del 0,5% y del 2%, respectivamente.
Datos
  • En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal
a
Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.1 pt
b
Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid?1,5 pts
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