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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2019

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa: {ax+y−2z=0x+y−az=−1x+y+z=a\begin{cases} ax + y - 2z = 0 \\ x + y - az = -1 \\ x + y + z = a \end{cases}
a)1 pts
Determine para qué valores de aa el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para a=2a = 2.
b)1 pts
Determine para qué valor de aa el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c)0,5 pts
Determine para qué valor de aa el sistema no tiene solución.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Considere la matriz A=(−1a001a1−11)A = \begin{pmatrix} -1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
a)1 pts
Determine para qué valores de aa la matriz AA tiene inversa.
b)0,5 pts
Para a=1a = 1, calcule la inversa de AA.
c)1 pts
Para a=1a = 1, resuelva la ecuación matricial XA+2I=2AXA + 2I = 2A, donde II es la matriz identidad 3×33 \times 3.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Calcule los extremos relativos (máximos y mínimos) de f(x)=x2+2xexf(x) = \frac{x^2 + 2x}{e^x}, definida para todo valor de x∈Rx \in \mathbb{R}. Determine también los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).
b)1 pts
Calcule lim⁡x→0(1x−1ex−1)\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Calcule la integral indefinida ∫x1+xdx\int \frac{\sqrt{x}}{1 + x} dx.
b)0,5 pts
Determine la primitiva de x1+x\frac{\sqrt{x}}{1 + x} que pasa por el punto (1,2)(1, 2).
c)1 pts
Calcule el límite lim⁡x→+∞x1+x\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{1 + x}.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Considere la recta r:x+1−1=y+32=z1r : \frac{x + 1}{-1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z}{1} y el plano π:x−2y−z=−1\pi : x - 2y - z = -1
a)1 pts
Estudie la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi.
b)1,5 pts
En caso de que la recta corte al plano, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso de que la recta no corte al plano, calcule la distancia entre ambos.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Los puntos A=(0,−1,1)A = (0, -1, 1) y B=(1,1,1)B = (1, 1, 1) son dos de los vértices de un triángulo. El tercer vértice CC está contenido en la recta rr que pasa por el punto BB y es perpendicular al plano π:2x−y+z=1\pi : 2x - y + z = 1.
a)1 pts
Calcule la ecuación de la recta rr que pasa por el punto BB y es perpendicular al plano π\pi.
b)1,5 pts
Calcule las coordenadas del vértice CC sabiendo que el área del triángulo es 3303\sqrt{30}.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
La probabilidad de que una flecha dé en la diana es 0,400{,}40. Si se lanzan 9 flechas, determine:
a)1 pts
Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de flechas que dan en la diana.
b)0,5 pts
Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución.
c)1 pts
Cuál es la probabilidad de que al menos 5 flechas den en la diana.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
El 60% de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el 25% en Madrid, y el resto en Lisboa. El 1% de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del 0,5% y del 2%, respectivamente.
a)1 pts
Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.
b)1,5 pts
Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid?
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