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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Calcular los límites:lim⁡x→+∞24+e−(x+1)ylim⁡x→−∞24+e−(x+1)\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x + 1)}} \quad \text{y} \quad \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x + 1)}}1 pt
b
Calcular la integral ∫01x1+3x2dx\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + 3x^2} dx.1 pt
c
Hallar el dominio de definición de la función f(x)=x2−9x+14f(x) = \sqrt{x^2 - 9x + 14}. Hallar el conjunto de puntos en los que la función ff tiene derivada.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados los planosπ1≡2x+3y+z−1=0,π2≡2x+y−3z−1=0,\pi_1 \equiv 2x + 3y + z - 1 = 0, \quad \pi_2 \equiv 2x + y - 3z - 1 = 0,y la rectar≡x−12=y+1=z+22,r \equiv \frac{x - 1}{2} = y + 1 = \frac{z + 2}{2},se pide:
a
El punto o puntos de rr que equidistan de π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
b
El volumen del tetraedro que π1\pi_1 forma con los planos coordenados XY,XZXY, XZ e YZYZ.1 pt
c
La proyección ortogonal de rr sobre el plano π2\pi_2.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcular el rango de la matrizA=(13−2−11a20−aa+20a)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ -1 & 1 & a \\ 2 & 0 & -a \\ a + 2 & 0 & a \end{pmatrix}según los valores del parámetro aa.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dada la matrizM=(sen⁡xcos⁡x0cos⁡x−sen⁡x0001)M = \begin{pmatrix} \sen x & \cos x & 0 \\ \cos x & -\sen x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}se pide:
a
Calcular el determinante de la matriz MM.0,5 pts
b
Hallar la matriz M2M^2.1 pt
c
Hallar la matriz M25M^{25}.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dado el punto P(0,1,1)P(0, 1, 1) y las rectas:r≡x−12=y+11=z−1,s≡{x=0y=0r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}, \qquad s \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}se pide:
a
Determinar las coordenadas del punto simétrico de PP respecto a rr.1,5 pts
b
Determinar la recta que pasa por el punto PP, tiene dirección perpendicular a la recta rr y corta a la recta ss.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales{2x+4y=4k−k3x+k2y+kz=0x+ky=k2\begin{cases} 2x + 4y = 4k \\ -k^3x + k^2y + kz = 0 \\ x + ky = k^2 \end{cases}se pide:
a
Discutirlo en función del valor del parámetro kk.2 pts
b
Resolver el sistema para k=1k = 1.0,5 pts
c
Resolver el sistema para k=2k = 2.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la funciónf(x)={e1/x,si x<0k,si x=0cos⁡x−1sen⁡x,si x>0f(x) = \begin{cases} e^{1/x}, & \text{si } x < 0 \\ k, & \text{si } x = 0 \\ \frac{\cos x - 1}{\sen x}, & \text{si } x > 0 \end{cases}hallar el valor de kk para que ff sea continua en x=0x = 0. Justificar la respuesta.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x)=−sen⁡xf(x) = -\sen x y el eje OXOX entre las abscisas x=0x = 0 y x=2πx = 2\pi.1 pt
b
Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f(x)=−sen⁡xf(x) = -\sen x alrededor del eje OXOX entre las abscisas x=0x = 0 y x=2πx = 2\pi.1 pt
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