Matemáticas II · Madrid 2011

Calcular los límites: $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x + 1)}} \quad \text{y} \quad \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{2}{4 + e^{-(x + 1)}}$$

Calcular la integral $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + 3x^2} dx$.

Hallar el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 9x + 14}$. Hallar el conjunto de puntos en los que la función $f$ tiene derivada.

Determinar las coordenadas del punto simétrico de $P$ respecto a $r$.

Determinar la recta que pasa por el punto $P$, tiene dirección perpendicular a la recta $r$ y corta a la recta $s$.

El punto o puntos de $r$ que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$.

El volumen del tetraedro que $\pi_1$ forma con los planos coordenados $XY, XZ$ e $YZ$.

La proyección ortogonal de $r$ sobre el plano $\pi_2$.

Discutirlo en función del valor del parámetro $k$.

Resolver el sistema para $k = 1$.

Resolver el sistema para $k = 2$.

Calcular el determinante de la matriz $M$.

Hallar la matriz $M^2$.

Hallar la matriz $M^{25}$.

Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x) = -\sen x$ y el eje $OX$ entre las abscisas $x = 0$ y $x = 2\pi$.

Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de $f(x) = -\sen x$ alrededor del eje $OX$ entre las abscisas $x = 0$ y $x = 2\pi$.