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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSNavarraPAU 2022Ordinaria

Matemáticas CCSS · Navarra 2022

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija tres de los seis ejercicios siguientes.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Considere las matrices A=(2−10−31−1)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} y B=(315−241)B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 5 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
i
Calcule A⋅BtA \cdot B^t y explique razonadamente si la matriz resultante tiene inversa.3 pts
ii
Determine las matrices XX e YY que verifican el sistema: {2X−3Y=A3X−2Y=B\begin{cases} 2X - 3Y = A \\ 3X - 2Y = B \end{cases}7 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Un joven estudiante ganó 2000020000 euros en un concurso cultural y está pensando en invertir al menos el 20%20\% y no más del 50%50\% del premio. Un asesor le aconseja que reparta su inversión en dos carteras (C1C_1 y C2C_2). La cartera C1C_1 tiene un perfil de riesgo audaz y una rentabilidad del 7%7\%, mientras que la cartera C2C_2 tiene un perfil de riesgo moderado y una rentabilidad del 4%4\%. El estudiante decide invertir no más de 80008000 euros en la cartera C1C_1 y al menos 30003000 euros en la cartera C2C_2. Además, el asesor le recomienda que invierta en C2C_2 una cantidad igual o superior a lo invertido en C1C_1. ¿Cuánto deberá invertir en cada cartera si se desea maximizar la rentabilidad?
i
Plantee el problema.4 pts
ii
Resuélvalo gráficamente.4 pts
iii
Analice gráficamente qué ocurriría si considerando el perfil de riesgo, el estudiante modifica su idea inicial y decide no invertir más de 25002500 euros en la cartera C1C_1.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sea la función f(x)=xx2−4f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}
i
Estudie la continuidad de f(x)f(x), clasificando los puntos de discontinuidad.3 pts
ii
Calcule la ecuación de la recta tangente a la función f(x)f(x) en el punto x=1x = 1.4 pts
iii
Calcule ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sea la función f(x)=x⋅(x−3)2f(x) = x \cdot (x - 3)^2
i
Calcule los puntos de corte con los ejes.1 pt
ii
Calcule los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.3 pts
iii
Dibuje el recinto limitado por la función f(x)f(x) y el eje OXOX.2 pts
iv
Calcule el área de dicho recinto.4 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Una empresa vende tres productos (A, B y C) que distribuye a sus clientes a través de dos empresas de transporte (Trans y Logis). El año pasado, la empresa realizó 15001500 ventas y encargó a Trans el 60%60\% del reparto y a Logis el 40%40\%. El 20%20\% de los productos distribuidos por Trans fueron tipo A, el 50%50\% fueron tipo B y el 30%30\% tipo C. Para la empresa Logis, estos porcentajes fueron 40%40\%, 35%35\% y 25%25\%, respectivamente.
i
Se selecciona al azar una venta realizada el año pasado. Calcule la probabilidad de que sea un producto tipo B y distribuido por Trans.3 pts
ii
Se selecciona al azar una venta realizada el año pasado. Sabiendo que es un producto tipo C, calcule la probabilidad de que fuera distribuido por Logis.4 pts
iii
Se seleccionan al azar (sin reemplazamiento) dos ventas realizadas el año pasado. Calcule la probabilidad de que las dos ventas fueran distribuidas por Trans.3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
El consumo energético mensual (en kWh) de los hogares de una región sigue una distribución normal con varianza 400400. Se elige una muestra de 6464 hogares, obteniéndose una suma total del consumo de 1728017280 kWh.
Datos
  • P(Z<k)=12π∫−∞ke−t2/2 dtP(Z < k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{k} e^{-t^2/2} \, dt
Gráfica de la función de densidad y de distribución de la normal estándar con el área sombreada hasta el valor k.
i
Calcule un intervalo de confianza al 92%92\% para el consumo energético medio en hogares.5 pts
ii
Determine el tamaño de la muestra necesario para que, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error máximo se reduzca a la mitad.5 pts
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