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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla normal estándar como anexo. INSTRUCCIONES GNERALES Y CALIFICACIÓN Extivanrx saiomsgrán que se han respondido en primer lugar). Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Parte 1Números y álgebra
Una empresa fabrica y vende dos modelos de armarios de oficina A y B. Para fabricar un armario del modelo A se necesitan 3 horas para su construcción y 4 horas de pintura; cada uno del modelo B, necesita para estos procesos 6 y 2 horas respectivamente. La empresa dispone semanalmente de un máximo de 60 horas para la construcción de estos armarios y de un máximo de 32 horas para la pintura. Cada armario del modelo A genera un beneficio de 200 euros y cada uno del modelo B, 300 euros. A la empresa le interesa saber cuántos armarios de cada tipo debe fabricar para maximizar su beneficio. Se pide:
a
Plantea el problema de programación lineal que permita saber cuántos armarios de cada tipo se deben producir para maximizar el beneficio.0,5 pts
b
Representa la región factible.0,5 pts
c
Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región.0,5 pts
d
Indica cuántos armarios de cada tipo deben fabricarse para maximizar el beneficio. Indica el valor de dicho beneficio máximo.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Parte 1Números y álgebra

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (2.1 o 2.2)

Dada la matriz A=(53k−5)A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ k & -5 \end{pmatrix} (k: número real), se pide:
a
Calcula el valor de kk para que la matriz AA verifique la igualdad: A2=I2=(1001)A^2 = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.1 pt
b
Comprueba que la matriz B=(43−5−4)B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -5 & -4 \end{pmatrix} también verifica que B2=I2B^2 = I_2. Calcula la matriz inversa de B. Calcula una matriz X que verifique: BX=(3712)BX = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Parte 1Números y álgebra

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (2.1 o 2.2)

Dadas las matrices A=15(3−443)A = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} y B=(510020)B = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 0 & 20 \end{pmatrix}, se pide:
a
Comprueba que se cumple la igualdad: AAT=I2=(1001)AA^T = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.0,5 pts
b
Calcula una matriz X para que se cumpla la igualdad: XA+B=BAXA + B = BA (ATA^T representa la matriz traspuesta de A).1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
Parte 2Análisis

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (3.1 o 3.2)

Sea la función f(x)=x3+ax2+36x+5f(x) = x^3 + ax^2 + 36x + 5 (a: número real). Se pide:
a
Calcula el valor de aa para que la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto (2,f(2))(2, f(2)) tenga por ecuación: y=37y = 37. Estudia si la función posee un máximo o un mínimo relativo en x=2x = 2.1 pt
b
Calcula el valor de aa para que haya un cambio de concavidad de la función en x=5x = 5.1 pt
c
Qué valor debe tomar aa para que se verifique la igualdad: ∫24(3x2+2ax+36)dx=152\int_{2}^{4} (3x^2 + 2ax + 36) dx = 1521 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
Parte 2Análisis

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (3.1 o 3.2)

Un empresario ha realizado un estudio para analizar la evolución de su negocio durante 6 meses. Los ingresos, en miles de euros, vienen dados por la función: f(t)=t3−3t+10f(t) = t^3 - 3t + 10 con 0≤t≤60 \leq t \leq 6 (tt: meses transcurridos desde el inicio del estudio). Se pide:
a
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Calcula cuando los ingresos han sido máximos y cuándo mínimos en el intervalo de tiempo considerado, [0,6][0, 6], e indica cuándo se han alcanzado.1,25 pts
b
Calcula en qué momento los ingresos han sido de 1200012000 euros.0,25 pts
c
Representa gráficamente la función en el intervalo [0,6][0, 6].0,75 pts
d
Calcula en qué punto de la gráfica anterior, la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto es igual a 9. Indica la ecuación de dicha recta.0,75 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
3 puntos
Parte 3Probabilidad y estadística

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (4.1 o 4.2)

Resuelve los apartados A) y B):
a
Una empresa de motos fabrica uno de sus modelos en tres plantas distintas A, B y C que producen respectivamente el 35%, el 25% y el 40% de las unidades. El modelo está disponible en dos versiones, gasolina y eléctrica. Mientras en la planta B el 65% de las motos fabricadas son de gasolina, en la C sucede lo contrario y el 65% de las motos son eléctricas. Sabemos también que, de la producción total, el 60% de las motos son de gasolina. Se pide: a.1) ¿Qué porcentaje de motos fabricadas por la planta A son de gasolina? a.2) ¿Son independientes los sucesos “moto fabricada en la planta B” y “moto de gasolina”?1,25 pts
b
Se elige una moto al azar de dicha empresa, calcula la probabilidad de que haya sido fabricada en la planta B si la moto es eléctrica.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
3 puntos
Parte 3Probabilidad y estadística

Elige una, y solo una, de las dos opciones siguientes (4.1 o 4.2)

Resuelve los apartados A) y B):
a
De dos sucesos A y B sabemos que P(A)=14P(A) = \frac{1}{4}, P(A∩B)=18P(A \cap B) = \frac{1}{8} y que, además, A y B son independientes. Calcula: P(B)P(B), P(A∪B)P(A \cup B), P(A/B)P(A/B) y P(Aˉ/B)P(\bar{A}/B). (Aˉ\bar{A} representa el suceso complementario o contrario de A).1 pt
b
La duración en horas, de un tipo de bombilla sigue una distribución normal de media μ\mu y desviación típica igual a 250 horas.2 pts
b.1
Se toma una muestra aleatoria de 100 bombillas y la duración media de estas bombillas ha sido de 2000 horas. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la media μ\mu.1 pt
b.2
Calcula el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que al estimar μ\mu, con el mismo nivel de confianza, el error sea inferior a 20 horas.1 pt
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