Matemáticas II · Aragón 2021

Dada la siguiente función $$f(x) = \begin{cases} x^3 + bx + 2 & x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{ax} & x > 0 \end{cases}, \qquad a, b \in \mathbb{R}, a, b \neq 0$$

Calcule el valor de $a \in \mathbb{R}$ ($a \neq 0$) para que se verifique el siguiente límite $$\lim_{x \to 0} (1 - \sen^2(x))^{\frac{a}{x^2}} = 2.$$

Calcule $$\int \frac{x^2 - 1}{x^3 - 3x + 2} dx.$$

Para la siguiente función $$f(x) = \frac{2x^3 - x^2}{x^2 - x - 2}$$

Dada la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto $A = (0, 1, 1)$ y es paralela a los planos: $\pi_1$ que contiene los puntos $B_1, B_2, B_3$, y $\pi_2 \equiv x + 2z = 1$, siendo:

Sean los siguientes vectores: $$\vec{u}_1 = (-1, 1, 1), \qquad \vec{u}_2 = (0, 3, 1), \qquad \vec{u}_3 = (1, -2, 0), \qquad \vec{u}_4 = (-2, 0, 1)$$

La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media $120\,\mu\text{g/dl}$ y desviación típica $30\,\mu\text{g/dl}$. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a $75\,\mu\text{g/dl}$.