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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2021

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar)

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la siguiente funciónf(x)={x3+bx+2x≤0ln⁡(x+1)axx>0,a,b∈R,a,b≠0f(x) = \begin{cases} x^3 + bx + 2 & x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{ax} & x > 0 \end{cases}, \qquad a, b \in \mathbb{R}, a, b \neq 0
a
Determine los valores de a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} para que la función f(x)f(x) sea continua en R\mathbb{R}.1 pt
b
Calcule aquellos valores que además hacen que la función f(x)f(x) tenga un extremo relativo en el punto x=−1x = -1, y determine el tipo de extremo que es.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Calcule el valor de a∈Ra \in \mathbb{R} (a≠0a \neq 0) para que se verifique el siguiente límitelim⁡x→0(1−sen⁡2(x))ax2=2.\lim_{x \to 0} (1 - \sen^2(x))^{\frac{a}{x^2}} = 2.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcule∫x2−1x3−3x+2dx.\int \frac{x^2 - 1}{x^3 - 3x + 2} dx.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para la siguiente funciónf(x)=2x3−x2x2−x−2f(x) = \frac{2x^3 - x^2}{x^2 - x - 2}
a
Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir.1,2 pts
b
Calcule la recta tangente a la curva en el punto x=1x = 1.0,8 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada la siguiente matriz:A=(00−2121103)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}
a
Estudie el rango de la matriz A−kIA - kI según los valores de k∈Rk \in \mathbb{R}, donde II es la matriz identidad de orden 3.1,25 pts
b
Calcule la inversa de A−kIA - kI para k=0k = 0.0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
a
Sabiendo que ∣abcdefghi∣=5\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 5, calcule justificadamente ∣2d2e+2f2f−g−h−i−iab+cc∣\begin{vmatrix} 2d & 2e + 2f & 2f \\ -g & -h - i & -i \\ a & b + c & c \end{vmatrix}.1 pt
b
Dada la matriz A=(002220)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, resuelva el sistema (A−12AT)⋅X=(09)(A - \frac{1}{2}A^T) \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \end{pmatrix}, donde ATA^T es la matriz traspuesta de AA.1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
a
Resuelva el siguiente sistema matricial{2X+3Y=(−1237)3X−2Y=(53−24)\begin{cases} 2X + 3Y = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \\ 3X - 2Y = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \end{cases}1 pt
b
Calcule (20−11)n,n∈N\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^n, \quad\allowbreak n \in \mathbb{N}.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto A=(0,1,1)A = (0, 1, 1) y es paralela a los planos: π1\pi_1 que contiene los puntos B1,B2,B3B_1, B_2, B_3, y π2≡x+2z=1\pi_2 \equiv x + 2z = 1, siendo:
Datos
  • B1=(−1,0,2)B_1 = (-1, 0, 2)
  • B2=(1,3,1)B_2 = (1, 3, 1)
  • B3=(2,−1,0)B_3 = (2, -1, 0)
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Sean los siguientes vectores:u⃗1=(−1,1,1),u⃗2=(0,3,1),u⃗3=(1,−2,0),u⃗4=(−2,0,1)\vec{u}_1 = (-1, 1, 1), \qquad \vec{u}_2 = (0, 3, 1), \qquad \vec{u}_3 = (1, -2, 0), \qquad \vec{u}_4 = (-2, 0, 1)
a
Compruebe si los vectores {v⃗1,v⃗2,v⃗3}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\} son linealmente dependientes o independientes, siendo:v⃗1=2u⃗1−u⃗2,v⃗2=u⃗1+u⃗3,v⃗3=u⃗4.\vec{v}_1 = 2\vec{u}_1 - \vec{u}_2, \quad \vec{v}_2 = \vec{u}_1 + \vec{u}_3, \quad \vec{v}_3 = \vec{u}_4.1 pt
b
Calcule las siguientes expresiones:(2u⃗1−u⃗2)⋅(2u⃗1−u⃗2),(u⃗4−u⃗1)×(u⃗4−u⃗1),(2\vec{u}_1 - \vec{u}_2) \cdot (2\vec{u}_1 - \vec{u}_2), \qquad (\vec{u}_4 - \vec{u}_1) \times (\vec{u}_4 - \vec{u}_1),siendo ⋅\cdot y ×\times los productos escalar y vectorial de dos vectores respectivamente.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media 120 μg/dl120\,\mu\text{g/dl} y desviación típica 30 μg/dl30\,\mu\text{g/dl}. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a 75 μg/dl75\,\mu\text{g/dl}.
a
¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro?1 pt
b
El 45%45\% de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a kk. Averigüe el valor de kk.1 pt
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