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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere las matrices A=(11−2−3)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} y B=(5−23−1)B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}.
a
Compruebe que la matriz AA es regular (o inversible) y calcule su matriz inversa.1,25 pts
b
Resuelva la ecuación matricial AXA=BAXA = B, siendo AA la matriz anterior. ¡OJO!: El producto de matrices NO es conmutativo.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere las rectas rr y ss:
a
Estudie la posición relativa de las rectas rr y ss en función del parámetro aa:r:{x+3y=84y+z=10s:x7=ya−4=z+65a−6r: \begin{cases} x + 3y = 8 \\ 4y + z = 10 \end{cases} \qquad \qquad s: \frac{x}{7} = \frac{y}{a - 4} = \frac{z + 6}{5a - 6}1,5 pts
b
Para el valor del parámetro a=4a = 4 determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=ax+bxf(x) = ax + b\sqrt{x}, determine los valores de los parámetros aa y bb sabiendo que f(x)f(x) cumple las siguientes propiedades:
a
f(x)f(x) alcanza su máximo en el punto de abscisa x=100x = 100.
b
La gráfica de f(x)f(x) pasa por el punto (49,91)(49, 91).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere la función f(x)=arctg⁡xf(x) = \arctg x.
a
Calcule la integral indefinida ∫arctg⁡x dx\int \arctg x \, dx, donde arctg⁡x\arctg x denota la función arco-tangente de xx.2 pts
b
De todas las primitivas de la función f(x)=arctg⁡xf(x) = \arctg x, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,3)(0, 3).0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
a
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{ax+2z=0ay−z=ax−y+z=0\begin{cases} ax + 2z = 0 \\ ay - z = a \\ x - y + z = 0 \end{cases}1,5 pts
b
Si es posible, resuélvalo para el valor de a=0a = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la recta rr y el plano π\pi dados por las ecuaciones siguientes:r:x−23=y+4−4=z+10yπ:7x−y=8r: \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 4}{-4} = \frac{z + 1}{0} \quad y \quad \pi: 7x - y = 8
a
Compruebe que la recta rr corta al plano π\pi y calcule el ángulo que forman.1,5 pts
b
Determine el plano que contiene a la recta rr y es perpendicular al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→+∞(x2−3x−5−x2x−2)\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 - 3}{x - 5} - \frac{x^2}{x - 2} \right)1 pt
b
lim⁡x→1xln⁡x+1−x(x−1)2\lim_{x \to 1} \frac{x \ln x + 1 - x}{(x - 1)^2}1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere la función f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}.
a
Encuentre una primitiva de la función f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}.1,5 pts
b
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje de abscisas entre x=1ex = \frac{1}{e} y x=ex = e.1 pt
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