Matemáticas II · Murcia 2014

Compruebe que la matriz $A$ es regular (o inversible) y calcule su matriz inversa.

Resuelva la ecuación matricial $AXA = B$, siendo $A$ la matriz anterior. ¡OJO!: El producto de matrices NO es conmutativo.

Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} ax + 2z = 0 \\ ay - z = a \\ x - y + z = 0 \end{cases}$$

Si es posible, resuélvalo para el valor de $a = 0$.

Estudie la posición relativa de las rectas $r$ y $s$ en función del parámetro $a$: $$r: \begin{cases} x + 3y = 8 \\ 4y + z = 10 \end{cases} \qquad \qquad s: \frac{x}{7} = \frac{y}{a - 4} = \frac{z + 6}{5a - 6}$$

Para el valor del parámetro $a = 4$ determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas.

Compruebe que la recta $r$ corta al plano $\pi$ y calcule el ángulo que forman.

Determine el plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$.

$f(x)$ alcanza su máximo en el punto de abscisa $x = 100$.

La gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(49, 91)$.

Calcule la integral indefinida $\int \arctg x \, dx$, donde $\arctg x$ denota la función arco-tangente de $x$.

De todas las primitivas de la función $f(x) = \arctg x$, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas $(0, 3)$.

Encuentre una primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$.

Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje de abscisas entre $x = \frac{1}{e}$ y $x = e$.