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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mism valor, de las que el/la estudiantes deben elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. El/la estudiantes debe indicar claramente, en la primeraa del triístico, cuales han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar). Todas las respuestosdeferán estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 horas y 30 horas.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la matrixA=(a1101−1020−21011a3)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a & 3 \end{pmatrix}en función del parametro a∈Ra \in \mathbb{R}. Razone cuales es el rango de AA.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la functión f(x)={x3−10x2+25x,si x≤5ln⁡(x2−25),si x>5f(x) = \begin{cases} x^3 - 10x^2 + 25x, & \text{si } x \leq 5 \\ \ln(x^2 - 25), & \text{si } x > 5 \end{cases}
1
Determine si f(x)f(x) tiene asintota(s). En caso affirmativo, calculuela(s).0,75 pts
2
Determine si f(x)f(x) tiene punto(s) de inflexión. En caso affirmativo, calculuela(s).0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean A=(0,0,0)A = (0,0,0), B=(0,0,1)B = (0,0,1), C=(a,4,1)C = (a,4,1) y D=(a,4,0)D = (a,4,0) los vértices consecutivos de un rectángulo en functión de una constante a≥0a \geq 0.
1
Calcule la constante de forma que el aire del rectángulo sea 5 u25\,\text{u}^2.1,25 pts
2
Calcule las ecuaciones paramétricas de las rectas de los lados del rectángulo para a=3a = 3.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se ha desarrollado un test para detectar un tipo particular de arritis en personas de alrededor de 50 años. Calcule la probabilitad de que una persona está enferma si al hacerle el test este sale positivo. Conocemos por un estudio previo que:
Datos
  • La probabilitad de que las personas sobre 50 años tengan este tipo de arritis es de 0,100{,}10
  • La probabilitad de que el test salga positivo a personas sobre 50 años con la arritis estudiada es de 0,850{,}85
  • La probabilitad de que el test salga positivo a personas sobre 50 años sin la arritis estudiada es de 0,040{,}04
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere el sistema de ecuaciones{x−3y+2z=−1−2x+4z=−6x−2y+λz=0\begin{cases} x - 3y + 2z = -1 \\ -2x + 4z = -6 \\ x - 2y + \lambda z = 0 \end{cases}en finción del parámetro λ∈R\lambda \in \mathbb{R}
1
Razone si el sistema puede ser incompatible. En caso afirmativo, determine cuándo lo es.0,75 pts
2
Razone si el sistema puede ser compatible deteminado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es.0,75 pts
3
Razone si el sistema puede ser compatible indeterminado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es.0,75 pts
4
Razone si el sistema tiene solución única para λ=1\lambda = 1. En caso afirmativo, calcule dicha solución.0,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere la función f(x)=ax+sen⁡(x)f(x) = ax + \sen(x) con x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
1
Determine la constante para que la función valga 0 cuando x=π2x = \frac{\pi}{2}.0,5 pts
2
Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) para el valor de aa calculado.1 pt
3
Calcule una primitiva de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Sean A=(0,3,2)A = (0, 3, 2), B=(4,1,3)B = (4, 1, 3), C=(2,3,4)C = (2, 3, 4) y D=(0,1,2)D = (0, 1, 2) los vértices de un tetraedro.
1
Obtenga la ecuación vectorial del plano determinado por los puntos AA, BB y CC.1,25 pts
2
Calcule el volumen del tetraedro.1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Las alturas de hombres de 17 años sigue una distribución normal de media 175 cm175\,\text{cm} y desviación estándar 7,41 cm7{,}41\,\text{cm}. Sea AA el suceso formado por los hombres de 17 años que miden más de 170 cm170\,\text{cm} y BB el suceso de las personas de 17 años que realizan la EBAU en una región determinada. Tenemos que P(Bc)=0,35P(B^c) = 0{,}35, donde BcB^c denota el suceso contrario de BB.
1
Calcule P(A)P(A).1 pt
2
Calcule P(B)P(B).0,5 pts
3
Calcule P(A∩Bc)P(A \cap B^c).0,5 pts
4
Calcule P(A∪B)P(A \cup B).0,5 pts
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