Matemáticas CCSS · Castilla y León 2022

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix}$. Hallar $a$ y $b$ para que la matriz $A$ conmute con $B$.

Una parcela produce tres cereales diferentes: maíz, trigo y centeno. En la parcela trabajan tres agricultores durante exactamente 8 horas diarias cada uno, y se utiliza el sistema de riego durante exactamente 60 minutos diarios. Para cuidar el maíz se emplean 2 horas de mano de obra y se necesitan 6 minutos de riego; para cuidar el trigo se emplean 4 horas de mano de obra y 4 minutos de riego; y para el centeno se emplea 1 hora de mano de obra y 4 minutos de riego. Si se deben producir exactamente 12 kilogramos en total de cereal al día por limitaciones en la producción, calcular los kilogramos de cada tipo de cereal que se producen cada día en la parcela.

Justificar la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: la función $f(x) = -x^3$ tiene un máximo relativo en el punto $x = 0$.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $C = (4 \quad -1)$ y $D = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral con $P(B) = \frac{3}{5}$ y $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = \frac{3}{4}$. Calcular $P(A \cap B)$.

Un estudio realizado por el Centro Nacional de Ciberseguridad español ha revelado que el número de dispositivos móviles hackeados en España viene determinado, en millones de aparatos, por la función $f(t) = \frac{t^2 + 15}{(t + 1)^2}$, donde $t$ indica el tiempo medido en años, siendo $t=0$ el tiempo que corresponde al año 2005.

Sabiendo que la gráfica de la función $f(x) = ax^2 + bx + c$, para $0 \leq x \leq 60$ pasa por el punto $(0, 20)$ y que alcanza un máximo de $36$ en el punto de abscisa $x = 40$, se pide:

Un estudio realizado sobre los estudiantes de las universidades de Castilla y León determina que el $40\%$ de los estudiantes procede de la misma provincia en la que está situada la universidad, el $20\%$ procede de otras provincias de Castilla y León y el resto procede de otras comunidades autónomas. Además, cursan el grado elegido en primera opción el $50\%$ de los estudiantes que proceden de la misma provincia que la universidad, el $25\%$ de los procedentes de otras provincias de Castilla y León y el $65\%$ de los procedentes de otras comunidades autónomas. Se elige al azar un estudiante de las universidades de Castilla y León.

El peso de los huevos de una granja sigue una distribución normal de media $67$ gramos y desviación típica $15$ gramos. En función del peso, los huevos se clasifican en $4$ tamaños.