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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2011

6 ejercicios

Instrucciones

Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué es lo que quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se pueden utilizar calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz M=(k+1110k−210k−2−k)M = \begin{pmatrix} k + 1 & 1 & 1 \\ 0 & k - 2 & 1 \\ 0 & k - 2 & -k \end{pmatrix}
a
Calcule los valores del parámetro kk para los cuales la matriz MM no es invertible.1 pt
b
Para k=0k = 0, calcule M−1M^{-1}.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dada la recta {2x−y+3z=2x+z+1=0\begin{cases} 2x - y + 3z = 2 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}, calcule la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano perpendicular a la recta que pasa por el punto P=(1,0,−1)P = (1, 0, -1).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c:
a
Determine la relación que deben cumplir los parámetros aa, bb y cc para que f(x)f(x) tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x=−1x = -1.0,5 pts
b
Calcule el valor del parámetro aa para que haya un punto de inflexión de la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=0x = 0.0,5 pts
c
Determine la relación entre los parámetros aa, bb y cc sabiendo que la gráfica de f(x)f(x) corta el eje OXOX en el punto de abscisa x=−2x = -2.0,5 pts
d
Calcule el valor de los parámetros aa, bb y cc para que se cumplan las tres propiedades anteriores a la vez.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sea la matriz A=(−1/2−3/203/2−1/20001)A = \begin{pmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. NOTA: Trabaje con radicales; no utilice la representación decimal de los elementos de la matriz.
a
Calcule A2A^2 y A3A^3.1 pt
b
Deduzca el valor de A101A^{101}.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Considere la recta r:x−13=y+2−1=z−ar: \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{-1} = z - a y el plano π:2x+y−5z=5\pi: 2x + y - 5z = 5.
a
Estudie la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi en función del parámetro aa.1 pt
b
Cuando a=3a = 3, calcule la distancia de la recta rr al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Sea f(a)=∫01/a(a2+x2)dxf(a) = \int_{0}^{1/a} (a^2 + x^2) dx para a>0a > 0.
a
Compruebe que f(a)=13a3+af(a) = \frac{1}{3a^3} + a.1 pt
b
Calcule el valor del parámetro aa para que la función f(a)f(a) tenga un mínimo relativo.1 pt
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