Matemáticas II · Cataluña 2024

Considere la función polinómica $f(x) = 3x^{13} + 5x^3 + 2$.

Considere el sistema de ecuaciones siguiente, donde $m$ es un parámetro real: $$\begin{cases} x - 3y + mz = -2 \\ x + my + 2z = 3 \\ x + y + 2z = m \end{cases}$$

La clase de Elia ha diseñado el logotipo siguiente para pintarlo en la pared del instituto: La curva que pasa por el punto $A$ es $y = f(x)$, con $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$, y la que pasa por los puntos $B$, $C = (3, 3)$ y $D$ es $y = g(x)$, con $g(x) = -\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + 4$.

Se estima que el $20\,\%$ de los habitantes de una región padece algún tipo de arritmia. Para diagnosticarla, existe la posibilidad de colocar al paciente un monitor Holter, que detecta la arritmia en un $95\,\%$ de los casos de personas que la padecen, pero que también da falsos positivos, por motivos eléctricos, en personas que no padecen arritmias en un $0{,}5\,\%$ de los casos.

Para cada punto $(x, y)$ de la curva $y = e^{-2x}$, con $x > 0$ e $y > 0$, considere el rectángulo con vértices en los puntos $(0, 0)$, $(x, 0)$, $(0, y)$ y $(x, y)$.

Considere el punto $P = (1, 3, 0)$ y el plano $\pi$ de ecuación $x + 2y - 2z = -7$.