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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2024

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CUATRO de las seis siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que PUEDAN almacenar datos o que PUEDAN transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco (páginas 14 y 15) para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, es necesario que lo indique claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la función polinómica f(x)=3x13+5x3+2f(x) = 3x^{13} + 5x^3 + 2.
a
Justifique que su gráfica corta al eje de las abscisas en un punto del intervalo [−2,0][-2, 0]. Dé un intervalo de longitud 0,50{,}5 donde se encuentre este punto de corte.1,25 pts
b
Estudie las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de y=f(x)y = f(x). ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de las abscisas? Justifique la respuesta.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere el sistema de ecuaciones siguiente, donde mm es un parámetro real:{x−3y+mz=−2x+my+2z=3x+y+2z=m\begin{cases} x - 3y + mz = -2 \\ x + my + 2z = 3 \\ x + y + 2z = m \end{cases}
a
Discuta el sistema según el valor del parámetro mm.1,25 pts
b
Encuentre la solución del sistema para m=0m = 0.0,5 pts
c
Para m=2m = 2, dé una solución (x,y,z)(x, y, z) del sistema que, además, cumpla x=5yx = 5y.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
La clase de Elia ha diseñado el logotipo siguiente para pintarlo en la pared del instituto: La curva que pasa por el punto AA es y=f(x)y = f(x), con f(x)=x3−4x2+4xf(x) = x^3 - 4x^2 + 4x, y la que pasa por los puntos BB, C=(3,3)C = (3, 3) y DD es y=g(x)y = g(x), con g(x)=−(x−12)2+4g(x) = -\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + 4.
Logotipo formado por dos curvas f(x) y g(x) con zonas punteadas y rayadas en el primer cuadrante.
a
Calcule las coordenadas de los puntos AA, BB y DD.0,75 pts
b
Calcule el área de la zona punteada.1,25 pts
c
Los alumnos quieren pintar la parte punteada de color azul y la parte rayada de color verde. Sabiendo que el área total del logotipo es de 17512 m2\frac{175}{12}\,\text{m}^2, ¿de qué color necesitarán más pintura?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se estima que el 20 %20\,\% de los habitantes de una región padece algún tipo de arritmia. Para diagnosticarla, existe la posibilidad de colocar al paciente un monitor Holter, que detecta la arritmia en un 95 %95\,\% de los casos de personas que la padecen, pero que también da falsos positivos, por motivos eléctricos, en personas que no padecen arritmias en un 0,5 %0{,}5\,\% de los casos.
a
Si elegimos 44 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas padezca arritmias?0,75 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar obtenga un diagnóstico positivo de arritmia?0,75 pts
c
Si una persona obtiene un diagnóstico negativo en la prueba del Holter, ¿cuál es la probabilidad de que realmente padezca arritmias?1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Para cada punto (x,y)(x, y) de la curva y=e−2xy = e^{-2x}, con x>0x > 0 e y>0y > 0, considere el rectángulo con vértices en los puntos (0,0)(0, 0), (x,0)(x, 0), (0,y)(0, y) y (x,y)(x, y).
a
Compruebe que, de entre todos estos rectángulos, el que tiene x=12x = \frac{1}{2} es el de área máxima. ¿Cuál es el valor de esta área?1,5 pts
Gráfica de la función exponencial decreciente con un rectángulo inscrito bajo la curva.
b
Calcule la ecuación de la recta tangente a la función y=e−2xy = e^{-2x} en el punto de abscissa x=0x = 0, y su punto de corte con el eje de las abscisas.1 pt
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere el punto P=(1,3,0)P = (1, 3, 0) y el plano π\pi de ecuación x+2y−2z=−7x + 2y - 2z = -7.
a
Sea rr la recta que es perpendicular a π\pi y pasa por PP. Calcule el punto de intersección de π\pi con rr.1 pt
b
Calcule la distancia dd del punto PP al plano π\pi.0,5 pts
c
Calcule la ecuación de otro plano π′\pi' que sea paralelo a π\pi y que también esté a distancia dd de PP.1 pt
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