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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2014

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a) Calcula los valores de los parámetros a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} para que la funciónf(x)={x2−2x+asi x≤0x2+bex+3si x>0 f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + a & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + be^x + 3 & \text{si } x > 0 \end{cases} sea continua y derivable en x=0x = 0. b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=0x = 0.
a
Calcula los valores de los parámetros a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} para que la funciónf(x)={x2−2x+asi x≤0x2+bex+3si x>0 f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + a & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + be^x + 3 & \text{si } x > 0 \end{cases} sea continua y derivable en x=0x = 0.1,5 pts
b
Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula la integral definida∫01(x2+x+1)e−xdx\int_{0}^{1} (x^2 + x + 1) e^{-x} dx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Sabiendo que AA es una matriz cuadrada de orden 2 tal que ∣A∣=5|A| = 5, calcula razonadamente el valor de los determinantes∣−A∣,∣A−1∣,∣AT∣,∣A3∣|-A|, \quad |A^{-1}|, \quad |A^T|, \quad |A^3|1 pt
b
Sabiendo que∣abc111301∣=2\begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2calcula, usando las propiedades de los determinantes,∣3−a−b1−c1+a1+b1+c3a3b3c∣y∣500022a2b2c0300101444∣\begin{vmatrix} 3 - a & -b & 1 - c \\ 1 + a & 1 + b & 1 + c \\ 3a & 3b & 3c \end{vmatrix} \qquad \text{y} \qquad \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2a & 2b & 2c \\ 0 & 30 & 0 & 10 \\ 1 & 4 & 4 & 4 \end{vmatrix}1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Halla a∈Ra \in \mathbb{R} para que las rectasr≡{x+2y−z=1−x+y−3z=2ys≡{x+y=03x+2y+z=ar \equiv \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ -x + y - 3z = 2 \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ 3x + 2y + z = a \end{cases}se corten en un punto.1,25 pts
b
Para dicho valor de aa, da la ecuación implícita de un plano π\pi que contenga a rr y ss.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Calcula los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=1+x2e−x2f(x) = 1 + x^2 e^{-x^2}.1,5 pts
b
Calcula las asíntotas de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Para cada c≥2c \geq 2 definimos A(c)A(c) como el área de la región encerrada entre la gráfica def(x)=1+x2x4f(x) = \frac{1 + x^2}{x^4}el eje de abscisas, y las rectas x=1x = 1 y x=cx = c.
a
Calcula A(c)A(c).1,5 pts
b
Calcula lim⁡c→+∞A(c)\lim_{c \rightarrow +\infty} A(c).1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales{x−2y+3z=42x−y+z=8x−5y+az=4a∈R\begin{cases} x - 2y + 3z = 4 \\ 2x - y + z = 8 \\ x - 5y + az = 4 \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R}es compatible indeterminado. Calcula aa y resuelve el sistema para dicho valor del parámetro.2 pts
b
Para el valor de aa encontrado, da una solución particular del sistema tal que x=yx = y.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados el plano π≡x−y=4\pi \equiv x - y = 4 y la rectar≡{x+z=12x+y+az=0a∈R,r \equiv \begin{cases} x + z = 1 \\ 2x + y + az = 0 \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R},
a
Estudia si existe algún valor del parámetro aa para el que rr y π\pi sean paralelos.0,75 pts
b
Estudia si existe algún valor del parámetro aa para el que rr y π\pi se corten perpendicularmente.0,75 pts
c
Para a=1a = 1, da la ecuación implícita de un plano π′\pi' que contenga a rr y corte perpendicularmente a π\pi.1 pt
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