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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2010

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera el sistema de ecuaciones lineales:{x+y+z=1mx+y+(m−1)z=2x+my+z=m,m∈R\begin{cases} x + y + z = 1 \\ m x + y + (m - 1) z = 2 \\ x + m y + z = m \end{cases} , m \in \mathbb{R}Estúdialo para los distintos valores del parámetro y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Responde a las siguientes cuestiones sobre funciones y derivabilidad.
a
Determina una función verificando las siguientes condiciones: h(0)=0h(0) = 0, h′(0)=9h'(0) = 9 y h′(x)=−6xh'(x) = -6x para todo x∈Rx \in \mathbb{R}.1 pt
b
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. En el caso de que consideres que la afirmación es falsa pon un ejemplo ilustrativo.2,5 pts
b.1
Si una función, f:R⟶Rf : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, es continua y creciente, entonces es derivable en todo R\mathbb{R}.1,25 pts
b.2
La recta y=mx+2y = mx + 2 es tangente a la función g(x)=2mx2−x+4g(x) = 2mx^2 - x + 4 en x=1x = 1 para cualquier valor del parámetro mm.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera la recta: s≡{x=5+ty=3z=−2−2t(t∈R)s \equiv \begin{cases} x = 5 + t \\ y = 3 \\ z = -2 - 2t \end{cases} \quad\allowbreak (t \in \mathbb{R})
a
Halla un punto AA de la recta ss que equidiste de los puntos: B=(1,0,1)B = (1, 0, 1) y C=(2,4,−2)C = (2, 4, -2).1,5 pts
b
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: B=(1,0,1)B = (1, 0, 1), C=(2,4,−2)C = (2, 4, -2) y D=(1,0,0)D = (1, 0, 0).1,75 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera la matriz:A=(0m3m1312−1−1), donde m∈R.A = \begin{pmatrix} 0 & m & 3 \\ m & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \text{ donde } m \in \mathbb{R}.
a
Indica para qué valores del parámetro mm la matriz es regular (inversible).1,25 pts
b
Para m=3m = 3 razona si B=(0330013−1−1)B = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} es la matriz inversa de AA.1 pt
c
Para m=0m = 0 determina las matrices diagonales, DD, que cumplen: AD=DAAD = DA.1 pt
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considera la función f:R⟶Rf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida por:f(x)={x2si x<02xsi x≥0f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Determina si la función es derivable en x=0x = 0.1 pt
b
Estudia el crecimiento y decrecimiento de ff y dibuja su gráfica.1,25 pts
c
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función ff, el eje de abscisas (y=0y = 0) y las rectas verticales: x=−3x = -3 y x=2x = 2.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera los puntos: A=(0,1,−2)A = (0, 1, -2), B=(1,2,0)B = (1, 2, 0), C=(0,0,1)C = (0, 0, 1) y D=(1,0,m)D = (1, 0, m), donde m∈Rm \in \mathbb{R}.
a
Determina el valor del parámetro mm para que los cuatro puntos sean coplanarios.1,25 pts
b
Calcula el punto del plano π≡x+y−z−2=0\pi \equiv x + y - z - 2 = 0 más próximo al punto CC.2 pts
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