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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2010

6 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3,25 puntos
Considera el sistema de ecuaciones lineales: {x+y+z=1mx+y+(m−1)z=2x+my+z=m,m∈R\begin{cases} x + y + z = 1 \\ m x + y + (m - 1) z = 2 \\ x + m y + z = m \end{cases} , m \in \mathbb{R} Estúdialo para los distintos valores del parámetro y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3,25 puntos
Considera la matriz: A=(0m3m1312−1−1), donde m∈R.A = \begin{pmatrix} 0 & m & 3 \\ m & \frac{1}{3} & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \text{ donde } m \in \mathbb{R}.
a)1,25 pts
Indica para qué valores del parámetro mm la matriz es regular (inversible).
b)1 pts
Para m=3m = 3 razona si B=(0330013−1−1)B = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} es la matriz inversa de AA.
c)1 pts
Para m=0m = 0 determina las matrices diagonales, DD, que cumplen: AD=DAAD = DA.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3,5 puntos
Responde a las siguientes cuestiones sobre funciones y derivabilidad.
a)1 pts
Determina una función verificando las siguientes condiciones: h(0)=0h(0) = 0, h′(0)=9h'(0) = 9 y h′(x)=−6xh'(x) = -6x para todo x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)2,5 pts
Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. En el caso de que consideres que la afirmación es falsa pon un ejemplo ilustrativo.
b.1)1,25 pts
Si una función, f:R⟶Rf : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, es continua y creciente, entonces es derivable en todo R\mathbb{R}.
b.2)1,25 pts
La recta y=mx+2y = mx + 2 es tangente a la función g(x)=2mx2−x+4g(x) = 2mx^2 - x + 4 en x=1x = 1 para cualquier valor del parámetro mm.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3,5 puntos
Considera la función f:R⟶Rf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida por: f(x)={x2si x<02xsi x≥0f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 0 \\ 2x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a)1 pts
Determina si la función es derivable en x=0x = 0.
b)1,25 pts
Estudia el crecimiento y decrecimiento de ff y dibuja su gráfica.
c)1,25 pts
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función ff, el eje de abscisas (y=0y = 0) y las rectas verticales: x=−3x = -3 y x=2x = 2.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3,25 puntos
Considera la recta: s≡{x=5+ty=3z=−2−2t(t∈R)s \equiv \begin{cases} x = 5 + t \\ y = 3 \\ z = -2 - 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})
a)1,5 pts
Halla un punto AA de la recta ss que equidiste de los puntos: B=(1,0,1)B = (1, 0, 1) y C=(2,4,−2)C = (2, 4, -2).
b)1,75 pts
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: B=(1,0,1)B = (1, 0, 1), C=(2,4,−2)C = (2, 4, -2) y D=(1,0,0)D = (1, 0, 0).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3,25 puntos
Considera los puntos: A=(0,1,−2)A = (0, 1, -2), B=(1,2,0)B = (1, 2, 0), C=(0,0,1)C = (0, 0, 1) y D=(1,0,m)D = (1, 0, m), donde m∈Rm \in \mathbb{R}.
a)1,25 pts
Determina el valor del parámetro mm para que los cuatro puntos sean coplanarios.
b)2 pts
Calcula el punto del plano π≡x+y−z−2=0\pi \equiv x + y - z - 2 = 0 más próximo al punto CC.
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